Pression de radiation
Une onde électromagnétique plane sinusoidale de pulsation $\omega$ et de vecteur d'onde $\vec k_i$ se propage dans le vide suivant $\hat z$ . Le champ électrique $\vec E_i$ est polarisé dans la direction $\hat x$ . Elle rencontre dans le plan $z=0$ la surface d'un conducteur non magnétique, non chargé, de conductivité $\sigma$ et de permittivité relative $\epsilon_r$ . Les densités surfaciques de charge $\sigma_s$ et de courant $j_s$ à la surface du conducteur sont supposées nulles. On désigne par $(\vec E_t,\vec B_t)$ et $(\vec E_r,\vec B_r)$ les champs des ondes transmise et réfléchie.

1. Ecrire les champs incidents $\vec E_i$ et $\vec B_i$ , on appellera $k_1$ la norme de $\vec k_i$ et on exprimera les deux champs en fonction de l'amplitude $E_{0i}$ de $\vec E_i$ .
2. Calculer l'intensité moyenne de l'onde incidente (flux du vecteur de Poynting sur une surface unité $\perp \hat z$ ). Vérifier qu'elle peut se mettre sous la forme $$I=\frac{1}{2} \Re \left(E_i\, \bar H_i\right)$$ .
3. De même pour champs réfléchis (en fonction de $E_{0r}$ , amplitude de $\vec E_r$ ).
4. Le vecteur d'onde de l'onde transmise est $\vec k_t=k_2 \hat z$ . Ecrire les champs transmis (faire apparaitre $E_{0t}$ , amplitude de $\vec E_t$ )
5. Donner la relation de dispersion dans le conducteur, en déduire les valeurs de $n^2$ et $\kappa^2$ où $n$ et $\kappa$ sont les parties réelle et imaginaire de l'indice complexe $\underline{n}$ .
6. Ecrire les champs transmis, préciser le déphasage $\phi$ entre $B_t$ et $E_t$ .
7. On suppose $$\epsilon_r\gg \frac{\sigma}{\omega\epsilon_0}$$ . Que deviennent $n$ et $\kappa$ et les champs transmis dans ce cas ?
8. Dans toute la suite on suppose $$\epsilon_r\ll \frac{\sigma}{\omega\epsilon_0}$$ (bon conducteur) et on pose $$\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\sigma\omega}}$$ . Ecrire $k_2$ puis $n$ et $\kappa$ et les champs transmis. Que représente $\delta$ ? Quelle est la valeur de $\phi$  ?
9. On appelle $t_{12}$ le coefficient de transmission de la surface du conducteur (rapport des amplitudes des champs électriques) et $r_{12}$ le coefficient de réflexion. A partir des relations de passage rappelées ci-dessous ($\hat N$ est la normale à la surface et $T$ désigne la composante tangentielle), calculer $r_{12}$ et $t_{12}$ en fonction de $k_1$ et $k_2$ .

   $\parbox{4cm}{ \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \displays... ...laystyle \vec E_{2T}-\vec E_{1T}=\vec 0 \end{array}\right. \end{displaymath}\ }$ cm $\parbox{8cm}{ \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \displays... ... H_{2T}-\vec H_{1T}=\vec j_s \wedge\hat N \end{array}\right. \end{displaymath}}$

10. Ecrire, en fonction de $\sigma$ , la force de Laplace $d \vec F_L$ à laquelle est soumis un élément de volume $d v$ du métal contenant $n_e$ électrons par unité de volume. Calculer sa valeur moyenne dans le temps (sur une période $T=\frac{2\pi}{\omega}$ ). Intégrer sur $z$ et obtenir la pression de radiation (force moyenne par unité de surface dans le plan $xOy$ ) exercée sur le conducteur.
11. Obtenir le résultat précédent en faisant un bilan des flux des quantités de mouvement des ondes incidente et réfléchie à la surface du conducteur (on rappelle qu'une onde transporte par unité de volume une quantité de mouvement $\vec p=\frac{U}{c} \hat k$ , $U$ étant l'énergie électromagnétique par unité de volume, et que la force est la dérivée temporelle de la quantité de mouvement). On se placera dans la limite $\sigma$ grand et on vérifiera que $r_{12}\simeq -1$ et que $t_{12}\simeq 2 k_1/k_2$ .
12. On pose $r_{12}=r e^{i\phi_r}$ et $t_{12}=t e^{i\phi_t}$ et on se place à $\omega=c/\delta$ . Donner la valeur de $r$ et $t$ et calculer l'intensité moyenne de l'onde transmise à une profondeur $z=h$ dans le conducteur.
13. Toujours pour $\omega=c/\delta$ , calculer la puissance moyenne perdue par effet Joule dans le volume d'un cylindre droit de section unité compris entre les plans $z=0$ et $z=h$ dans le conducteur (on rappelle que la puissance dissipée par unité de volume est $\vec j.\vec E$ ). Montrer qu'on retrouve cette perte par effet Joule au moyen d'un bilan d'énergie (intensités incidente, transmise et réfléchie).