Diffraction de Fresnel derrière un réseau sinusoïdal

Soit un réseau de coefficient de transmission

$$t(x,y)=1+ m \cos \frac{2\pi x}{a}$$

avec $m\ll 1$. Ce réseau est éclairé par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ arrivant sous incidence normale. On note $\psi_0$ l'amplitude complexe incidente dans le plan du réseau pris comme origine des $z$.

1. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde émergente dans le plan du réseau. La décomposer en somme discrète d'ondes planes. Dans quelles directions de cosinus directeurs $(\alpha_n,\beta_n)$ ces ondes se propagent-elles ?
2. A quelle condition sur la période du réseau peut-on traiter le problème en utilisant l'approximation de Gauss ? Dans la suite on supposera cette condition réalisée.
3. Ecrire l'amplitude complexe dans un plan $z>0$, puis l'intensité correspondante. Calculer le contraste $C(z)$ de l'intensité.
4. Montrer que l'intensité $I_z(x,y)$ devient uniforme pour certaines valeurs de $z$. A.N.:$\lambda=630$ nm, $a=0.2$ mm.
5. Montrer qu'il existe des valeurs de $z$ pour lesquelles l'intensité est identique à celle observée dans le plan du réseau.
6. Montrer qu'il existe des valeurs de $z$ pour lesquelles l'intensité est identique à celle observée dans le plan du réseau, mais avec une inversion des franges brillantes et sombres