Ecran diffractant accolé à une lentille infinie

On réalise le montage suivant :

Un écran diffractant de coefficient de transmission t(x,y) est placé dans le même plan qu'une lentille convergente de focale F. Ce plan est pris comme origine des z. L'éclairage se fait par une onde plane sous incidence normale, d'amplitude $\psi_0$ dans le plan z=0.

Posons $\rho^2=x^2+y^2$. Le coefficient de transmission de la lentille s'écrit

$$l(x,y)=\exp \left(-\frac{i\pi\rho^2}{\lambda F}\right)$$

l'amplitude de l'onde à la sortie de l'ensemble écran+lentille s'écrit

$$f_0(x,y)=\psi_0\; t(x,y) \; l(x,y)$$

Faisons une transformée de Fourier-Fresnel pour avoir l'amplitude à la distance z=F :

$$f_F(x,y)=\frac{e^{ikF}}{i\lambda F} \; \psi_0 \; \exp \left(\... ...') \; \exp \left(\frac{i\pi\rho'^2}{\lambda F}\right) \right\}$$

où $\rho'^2=x'^2+y'^2$.
Si l'on pose



ceci se simplifie en

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle f_F(x,y)=\frac{e^{ikF}}{i\lambda ... ...f_0\left( \frac{x}{\lambda F}, \frac{y}{\lambda F}\right) $ } }$$ (1)

l'intensité s'écrit

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle I_F(x,y)=\frac{1}{\lambda^2 F^2} ... ...ac{x}{\lambda F}, \frac{y}{\lambda F}\right)\right\vert^2 $ } }$$ (2)

Ainsi, au foyer de la lentille, l'intensité est proportionnelle au carré du module de la transformée de Fourier de l'amplitude complexe dans le plan d'entrée de la lentille. On retrouve la propriété de transformation de Fourier optique caractéristique de la diffraction à l'infini.

L'amplitude complexe est par contre affectée d'un terme de phase quadratique. Il est sans importance pour l'observation de la figure de diffraction (détecteurs sensibles à l'intensité) mais peut s'avérer gènant si on souhaite travailler sur la phase de l'onde au foyer. La solution pour éliminer ce terme de phase consiste à placer l'écran diffractant au foyer objet de la lentille comme discuté dans le paragraphe suivant.