Ecran diffractant au foyer objet d'une lentille

Le montage optique est cette fois le suivant :

• Amplitude de l'onde incidente dans le plan de l'objet (origine des z) : $\psi_0$
• Après la traversée de l'écran : $f_0(x,y)=\psi_0 \; t(x,y)$
• Propagation sur une distance F : $\psi(x,y,z=F^-)=e^{ikF}\; f_0(x,y) \; \ast h(x,y)$, où h(x,y) est la réponse impulsionnelle de la propagation
  
  $$h(x,y)=\frac{1}{i\lambda F} \; \exp \left(\frac{i\pi\rho^2}{\lambda F}\right)$$
  
  

• Traversée de la lentille
  
  $$f_F(x,y)=e^{ikF} \; l(x,y) \; . \; \left[ f_0(x,y) \ast h(x,y) \right]$$
  
  

• Nouvelle propagation sur une distance F, on l'écrite cette fois en utilisant la transformée de Fourier-Fresnel :
  
  $$f_{2F}(x,y)=\frac{e^{2ikF}}{i\lambda F} \; \exp \left(\frac{i... ...t]\; \exp \left(\frac{i\pi \rho'^2}{\lambda F}\right) \right\}$$
  
  
  ce qui se simplifie en
  
  $$f_{2F}(x,y)=\frac{e^{2ikF}}{i\lambda F} \; \exp \left(\frac{i... ...\; \hat h\left(\frac{x}{\lambda F}, \frac{y}{\lambda F}\right)$$
  
  
  mais comme $\hat h(u,v)=\exp(-i\pi\lambda F(u^2+v^2))$, l'amplitude complexe dans le plan focal image s'écrit simplement
  

  $$\mbox{\fbox{$\displaystyle f_{2F}(x,y)=\frac{e^{2ikF}}{i\lam... ... f_0\left(\frac{x}{\lambda F}, \frac{y}{\lambda F}\right) $ } }$$ (3)

  
  
  et l'intensité
  

  $$\mbox{\fbox{$\displaystyle I_{2F}(x,y)=\frac{1}{\lambda^2 F^... ...ac{x}{\lambda F}, \frac{y}{\lambda F}\right)\right\vert^2 $ } }$$ (4)

  
  

Cette fois, l'amplitude complexe dans le plan focal image est à une constante près la transformée de Fourier exacte de l'amplitude dans le plan focal objet. Ce résultat remarquable permet de réaliser des expériences de filtrage optique.