Fonction pupille

Fig. 1: Fonction pupille dans plan focal objet d'une lentille convergente. L'amplitude dans le plan focal image est la TF simple de la fonction pupille.

Considérons le montage optique de la figure 1, constitué d'un diaphragme de coefficient de transmission $P(x',y')$ placé dans le plan focal objet d'une lentille convergente de focale $F$ . Eclairons-le par une onde plane d'amplitude constante $A$ . On observe dans le plan focal image la réponse impulsionnelle, dont l'amplitude complexe $R(\alpha,\beta)$ s'écrit comme une transformée de Fourier simple de la fonction $P(x',y')$  :

$$R(\alpha,\beta)=\frac{A e^{2ikF}}{i \lambda F}\; \hat{P}\left(\frac\alpha\lambda , \frac\beta\lambda \right)$$

La fonction $P(x',y')$ est appelée fonction pupille de l'instrument. Elle correspond, à une constante près, à la distribution d'amplitude dans le plan focal objet de la lentille.

On parle parfois de ``charnière optique'' pour la pupille : une translation transversale de l'image (convolution par un terme $\delta(\alpha - \alpha_0)$ ) multiplie la pupille par un terme de phase $e^{i k \alpha_0 x'}$ sans changer sa position. Dans le cas où la pupille est un diaphragme circulaire qui délimite un faisceau de rayons, les rayons périphériques passent à travers le diaphragme quelle que soit la position de l'image (voir figure 2). Le plan focal objet ou plan pupille est le seul plan où celà se produit.

Il est à noter que lorsque le masque $P(x',y')$ n'est pas dans le plan pupille (plan focal objet de la lentille), alors la fonction pupille n'est plus $P(x',y')$ . Il apparait une convolution par un terme de phase quadratique exprimant la propagation entre le plan pupille (plan focal objet), et le plan du masque (terme de défocalisation). Mais la fonction pupille reste la distribution d'amplitude dans le plan focal objet.

Fig. 2: Illustration de l'effet de ``charnière optique'' de la fonction pupille. Lorsque l'on déplace l'image dans le plan focal image, les rayons correspondant s'inclinent mais passent tous par la pupille. L'amplitude complexe de la pupille est multipliée par un terme de phase linéaire (correspondant à une onde plane inclinée).