Transformées de Fourier

Définitions

TF Directe

\begin{displaymath}\hat{f}(\nu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \; e^{-2 i \pi \nu t} \; dt\end{displaymath}

TF Inverse

\begin{displaymath}f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\nu) \; e^{2 i \pi \nu t} \; d\nu\end{displaymath}

Divers

Propriétés générales

Fonction Transformée Fonction Transformée
$\displaystyle a \, f(t) + b\, g(t)$ $\displaystyle a \,\hat{f}(\nu) + b \,\hat{f}(\nu)$ $\displaystyle \frac{df}{dt}$ $\displaystyle 2 i \pi \nu \hat{f}(\nu)$
$\displaystyle f\left(\frac{t}{a}\right)$ $\displaystyle \vert a\vert \: \hat{f}(a \nu)$ $\displaystyle t . f(t)$ $\displaystyle -\frac{1}{2 i \pi} \: \frac{d\hat{f}}{d\nu}$
$\displaystyle \bar{f}(t)$ $\displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)}$ $\displaystyle f(t) . g(t)$ $\displaystyle (\hat{f}\ast\hat{g})(\nu)$
$\displaystyle f(t+\tau)$ $\displaystyle \hat{f}(\nu)\; e^{2 i \pi \nu \tau}$
Animation (340 KB)		 $\displaystyle (f\ast g)(t)$ $\displaystyle \hat{f}(\nu) . \hat{g}(\nu)$
$\displaystyle e^{2 i \pi \nu_0 t} f(t)$ $\displaystyle \hat{f}(\nu-\nu_0)$ $\displaystyle h(t)=\int f(\tau)\: \bar{g}(t+\tau) d\tau$ $\displaystyle \hat{h}(\nu)=\hat{f}(\nu) \: \overline{\hat{g}(\nu)}$

 
$\displaystyle \hat{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(t) dt$ $\displaystyle f(0)=\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\nu) d\nu$ $\displaystyle \hat{\!\!\hat{f}}(t)=f(-t)$
     
Th. de Parseval $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\: g(t)\: dt = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\nu)\: \overline{\hat{g}(\nu)} \: d\nu$  
     
$f$ réelle paire $\Longleftrightarrow$$\hat{f}$ réelle paire $f$ réelle impaire $\Longleftrightarrow$$\hat{f}$ imaginaire impaire  
     
$f$ réelle $\Longleftrightarrow$$\hat{f}(-\nu)=\overline{\hat{f}(\nu)}$ (partie réelle paire, partie imaginaire impaire)  

Distributions à une dimension

Fonction Graphe de la fonction
Rouge : partie réelle ; Vert : imaginaire ; Violet : module ; Cyan : phase 		Transformée Graphe de la TF
(parties réelle/imag ; module/phase)
1
1 $\displaystyle \delta(\nu)$
$\displaystyle \delta(t-\tau)$ $\exp(-2 i \pi \nu \tau)$  
$\exp(2 i \pi m t)$ $\displaystyle \delta(\nu-m)$
$\Pi\!\!\!\Pi (t)$ $\Pi\!\!\!\Pi (\nu)$
$\displaystyle H(t)$ $\displaystyle \frac{1}{2}\delta(\nu) + \mbox{VP}(\frac{1}{2 i \pi \nu})$
$\displaystyle \Pi(t) $ $\displaystyle \mbox{sinc}(\pi\nu)$
$\displaystyle \Lambda(t)$ $\displaystyle \mbox{sinc}^2(\pi\nu)$
$\displaystyle \cos(t)$ $\displaystyle \frac{1}{2}\delta(\nu-\frac{1}{2\pi})+\frac{1}{2}\delta(\nu+\frac{1}{2\pi})$
sin(t) TF sinus
$\displaystyle \cos^2(t)$ Tf cos^2
$\displaystyle \exp(-\vert t\vert)$ $\displaystyle \frac{2}{1+4 \pi^2 \nu^2}$
$\displaystyle \frac{1}{1+t^2}$ $\displaystyle 2 \pi \: \exp(-2 \pi \vert\nu\vert) $
$\displaystyle \exp (-\pi t^2) $ $\displaystyle \exp (-\pi \nu^2)$
$\displaystyle \exp (i \pi t^2)$ $\displaystyle e^{i \pi/4} \; \exp(-i \pi \nu^2)$  
   

Distributions à deux dimensions

TF Directe

\begin{displaymath}\hat{f}(u,v)=\int\!\!\!\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \; e^{-2 i \pi (u x+v y)} \; dx dy\end{displaymath}

TF Inverse

\begin{displaymath}f(x,y)=\int\!\!\!\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(u,v) \; e^{2 i \pi (u x+v y)} \; du dv\end{displaymath}

Fonctions à variables séparables

$\displaystyle f(x,y)=g(x)\: h(y)$$\Longleftrightarrow$$\displaystyle \hat{f}(u,v)=\hat{g}(u)\: \hat{h}(v)$

Fonctions à symétrie de révolution

Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $q=\sqrt{u^2+v^2}$. Alors les TF directes et inverses bidimensionnelles sont aussi à symétrie de révolution et s'écrivent à l'aide de la transformée de Hankel
 

\begin{displaymath}\hat{f}(q)= \int_0^{\infty} f(r) \; J_0 (2 \pi q r)\; 2 \pi r \; dr\end{displaymath}

et
 

\begin{displaymath}f(r)= \int_0^{\infty} \hat{f}(q) \; J_0 (2 \pi q r) \; 2 \pi q \; dq\end{displaymath}

Fonction Graphe de la fonction Transformée Graphe de la TF
$\displaystyle \delta(r-a)$ $2\pi a J_0(2\pi a q)$
$1/r$ $ 1/q$
$\displaystyle \Pi\left(\frac{r}{d}\right)$ $\displaystyle 2 \; \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)\; J_{1c}(\pi d q)$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r^2+a^2}}$ $\displaystyle \frac{\exp (-2 \pi a q)}{q} $
$\displaystyle \exp (-\pi r^2)$ $\displaystyle \exp (-\pi q^2)$
$\displaystyle \exp \left(i \pi \frac{r^2}{a^2}\right)$ Partie réelle
 $ i a^2 \displaystyle \exp (-i \pi a^2 q^2)$ Partie réelle
$\exp(-a r)$ $\displaystyle \frac{2\pi a}{(4 \pi^2 q^2+a^2)^{3/2}} $
$r^2 \: f(r) $
$ \nabla^2 \: \hat{f}$