Correction de l'interrogation d'optique

du 21 Octobre 2008

1. $$t(x,y)=\Pi\left(\frac{y}{a}\right)\; \left[\Pi\left(\frac{x}{a}\right)+ \Pi\left(\frac{x-b}{a}\right)+\Pi\left(\frac{x+b}{a}\right)\right]$$

2. $$I(x,y)=\frac{a^4 \vert\psi_0\vert^2}{\lambda^2 d^2}\:$$   sinc$$\left(\frac{\pi a x}{\lambda d}\right)^2\:$$   sinc$$\left(\frac{\pi a y}{\lambda d}\right)^2\: \left[ 3+4\cos\left(\f... ...i b x}{\lambda d}\right)+2\cos\left(\frac{4 \pi b x}{\lambda d}\right) \right]$$

3. On se place dans l'hypothèse où $a\rightarrow 0$ .
   1. Dans ce cas les 2 sinc tendent vers 1 et
      $$I(x,y)=I_0 \left[ 3+4\cos\left(\frac{2 \pi b x}{\lambda d}\right)+2\cos\left(\frac{4 \pi b x}{\lambda d}\right) \right]$$
      avec $I_0=\frac{a^4 \vert\psi_0\vert^2}{\lambda^2 d^2}$ . Cette fonction est maintenant indépendante de $y$ . Le premier cos a pour période $\lambda d/b$ (il correspond aux franges d'interférences des 2 paires de trous distantes de $b$ ). Le second cos a une période $\lambda d/2b$ , la moitié du premier (franges d'interférences des deux trous extrêmes distants de $2b$ ; comme il n'y a qu'une paire séparée de $2b$ , le second cos a un poids moitié de celui du premier). La période de l'ensemble est donc $L=\frac{\lambda d}{b}$ .
   2. La dérivée de $I$ s'écrit
      $$I'(x)=-\frac{8\pi}{L}\: \left[\sin\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)+... ...\frac{2 \pi x}{L}\right)\: \left[1+2 \cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)\right]$$
      Cette fonction s'anulle 4 fois dans l'intervalle $[0,L[$ : 2 fois à cause du sinus et 2 fois lorsque le cosinus vaut -1/2. Les 4 positions sont :

      $x_1=0$ $$x_2=\frac{L}{3}$$ $$x_3=\frac{L}{2}$$ $$x_4=\frac{2L}{3}$$

   3. On constate que $I(x_2)=I(x_4)=0$ : ce sont donc les positions des franges sombres (intensité nulle, pas de lumière).
   4. $x_1$ et $x_3$ sont donc les positions des franges brillantes. Le calcul donne $I(x_1)=9I_0$ et $I(x_3)=I_0$ . Il y a donc un maximum principal en $x=x_1=0$ et un maximum secondaire d'intensité 9 fois plus faible en $x=x_3=L/2$
   5. Graphe de l'intensité