L3 Physique -- Interrogation d'optique

Réseau de trous circulaires

Sans document -- durée 30 mn

Le masque ci-contre est constitué d'une infinité de trous circulaires identiques de diamètre $d$ régulièrement espacés d'une distance $a$ le long de l'axe $x'$ . L'origine des $x'$ est prise au centre d'un des trous. Ce masque est placé dans le plan focal objet d'une lentille convergente de focale $F$ (le plan du masque sera pris comme le plan $z=0$ ). Le masque est éclairé sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan $z=0$ .

1. Ecrire le coefficient de transmission du masque
2. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde à la sortie du masque (plan $z=0^+$ ).
3. En déduire l'amplitude complexe dans le plan focal image de la lentille (on pourra omettre les constantes multiplicatives en facteur de l'amplitude).
4. Pourquoi cette expérience est-elle analogue à une diffraction à l'infini ?
5. Tracer l'allure du graphe de l'amplitude en fonction de $x$ pour $y=0$ (faire un schéma annoté). On pourra prendre $a=3d$ . On rappelle que $J_1(\pi X)=0$ pour $X = 1.22$ .
6. Décrire (et si possible dessiner) l'image dans le plan focal image de la lentille
7. A quelle position dans le plan focal de la lentille se trouve l'ordre $p=1$  ?

On rappelle les TF suivantes, parmi lesquelles certaines seront utiles pour cet exercice :

• $$\prod\left(\frac x a\right) \longrightarrow \vert a\vert$$   sinc$(\pi u a)$
• $\delta(x-x_0) \longrightarrow \exp(2 i \pi u x_0)$
• $\exp(2 i \pi u_0 x) \longrightarrow \delta(u-u_0)$
• $\mathop{\textcyrillic{\CYRSH}}_a(x) \longrightarrow \mathop{\textcyrillic{\CYRSH}}(a u)$
• $\exp(-\pi x^2) \longrightarrow \exp(-\pi u^2)$
• $2\cos(2\pi x) \longrightarrow \delta(u-1)+\delta(u+1)$
• $$\prod\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}d\right) \longrightarrow \frac{\pi d^2}2\,$$   J$_{1c}(\pi d \sqrt{u^2+v^2})$