Interféromètre de Michelson

Fig. 3.12: Interféromètre de Michelson.
\includegraphics[width=12cm]{eps/interf_michels.eps}
Le montage est celui de la figure 3.12. L'onde plane incidente est quasi-monochromatique et se propage parallèlement à l'axe de l'interféromètre (incidence normale). Son spectre est $ F(\nu)=P(\nu-\nu_0)$ avec $ P$ la fonction profil, $ \nu _0$ la fréquence centrale et $ \Delta \nu $ la largeur de $ P(\nu)$ ( $ \Delta \nu \ll \nu _0$ ) . On note $ dI_0=F(\nu)d\nu$ l'intensité de l'onde incidente dans le plan $ z=0$ . On appelle $ r$ et $ t$ les coefficients de réflexion et transmission en amplitude de la séparatrice. Le miroir $ M_1$ est fixe, le miroir $ M_2$ est réglable, son déplacement est noté $ e$ . Le plan d'observation des interférences est parallèle aux plans d'onde des deux ondes incidentes ; l'intensité y sera constante (teinte plate). Pour une position donnée du miroir $ M_2$ , la différence de marche entre les deux ondes est $ \delta=2 (d_2-d_1)=2 e$ et le retard $ \tau=\frac{2e}{c}$ . Les ondes sont toutes deux planes sous incidence normale.

La démarche de calcul des interférences est la même que celle du paragraphe 3.2. On considère l'intensité $ dI$ produite dans le plan $ E$ par une tranche $ [\nu ,\nu +d\nu ]$ , puis on intègre sur la fréquence. Il vient

$\displaystyle dI \; = \; = \; 2r^2t^2 F(\nu) d\nu \; \left[1+ \cos\left(\frac{2 \pi 2e}{\lambda}\right)\right] $

qui s'écrit, en fonction du retard $ \tau $ et de la fréquence $ \nu$

$\displaystyle dI= \; 2r^2t^2 F(\nu) d\nu\left(1+ \cos(2\pi \nu_0 \tau)\right) $

C'est la même formule que dans le cas des trous d'Young (équation 3.1). L'intégrale sur la fréquence conduit donc à la même expression pour l'intensité totale dans le plan $ E$ :

$\displaystyle I(\tau)=2r^2t^2 \hat P(0)\:\left[1 +\frac{\vert\hat P(\tau)\vert}{\hat P(0)} \cos(2 \pi \nu_0\tau-\phi(\tau))\right] $

Cette expression de l'intensité est en fait générale lorqu'on l'exprime en fonction du retard $ \tau $ . Pour les franges d'Young $ \tau=\frac{a x}{c d}$ , pour l'interféromètre de Michelson $ \tau=\frac{2e}{c}$ . On pourrait imaginer d'autres dispositifs produisant des interférences à deux ondes planes (miroir de Lloyd, biprisme de Fresnel...) dans lequel le retard $ \tau $ s'exprimerait en fonction des variables du problème. Mais la forme générale de l'intensité en fonction de $ \tau $ resterait la même si les deux ondes sont de même amplitude (ce ne serait plus le cas pour deux trous d'Young de diamètre différents conduisant à une onde plus lumineuse que l'autre).

Exemple d'un profil de raie uniforme

Prenons pour $ F(\nu)$ une fonction porte de largeur $ \Delta \nu $ centrée sur la fréquence $ \nu _0$ .

$\displaystyle F(\nu)=F_0 \; \prod \left( \frac{\nu-\nu_0}{\Delta \nu} \right) $

La fonction profil est ici $ P(\nu)=\Pi\left( \frac{\nu}{\Delta \nu} \right)$ . L'intensité s'exprime, en faisant le changement de variable $ \tau=\frac{2e}{c}$ et en posant $ A=2r^2t^2 \hat P(0)$ :

$\displaystyle I(e)=A\, \left(1+ \mbox{sinc}(\pi\, \Delta\nu\, \frac{2 e}{c}) \; \cos(2\pi \nu_0\frac{2 e}{c})\right) $

On observe bien une intensité uniforme (dite ``teinte plate'') dans le champ d'interférences. Faire varier $ e$ change la luminosité de la teinte plate comme illustré sur la figure 3.13.

Fig. 3.13: Interféromètre de Michelson: variation de l'intensité de la teinte plate en fonction de la différence de marche $ \delta =2e$ . Le profil de raie est une porte de largeur $ \Delta \nu $ . L'enveloppe des oscillations (fonction contraste) est un sinuus cardinal.
\includegraphics[width=12cm]{eps/michel_spectf.eps}

Le Michelson utilisé dans cette configuration est un spectromètre à transformée de Fourier. En effet, il est possible de mesurer l'allure du profil de raie de la lumière incidente en procédant comme suit :