Interprétation - Définition de la cohérence

1. Si les fréquences $\omega _1$ et $\omega _2$ sont égales

C'est alors l'interférence entre deux ondes planes monochromatiques, le problème est identique à celui d'une onde plane monochromatique ayant traversé l'interféromètre de Michelson. L'intensité moyenne s'écrit $$I=I_1+I_2+2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\theta_2-\theta_1) \; = \; \frac{1}{2} \; \vert\psi_{1}+\psi_{2}\vert^2$$

Le terme d'interférences fait intervenir la différence de phase $\theta_2-\theta_1$. Dans le cas du Michelson, $\theta_2-\theta_1=2\pi\frac{\delta}{\lambda}$ où $\delta$ est la différence de trajet entre les deux ondes qui interfèrent. On dit dans ce cas que les deux ondes sont cohérentes entre elles. En général on oubliera le facteur $\frac{1}{2}$ et on écrira

$$I=\vert\psi_{1}+\psi_{2}\vert^2$$

2. Si les fréquences $\omega _1$ et $\omega _2$ sont pratiquement égales

On est dans le cas où $\delta\omega \ll 1/\tau$. Le résultat est identique au cas monochromatique et l'intensité moyenne s'écrit $$I=I_1+I_2+2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\theta_2-\theta_1) \; = \; \frac{1}{2} \; \vert\psi_{1}+\psi_{2}\vert^2$$

3. Si les fréquences $\omega _1$ et $\omega _2$ sont très différentes

C'est le cas où $\delta\omega\gg 1/\tau$. Dans ce cas $f(\tau)=0$ et l'intensité moyenne s'écrit $$I=I_1+I_2$$

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. On dit dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles. Ce cas correspond à une différence de phase $\delta\phi$ entre les deux ondes qui varie dans le temps :

$$\delta\phi(t)=\delta\omega t +\theta_1-\theta_2$$

C'est la différence essentielle avec le cas où les deux ondes sont cohérentes entre elles.

4. Le cas intermédiaire

On parle alors de cohérence partielle entre les deux ondes. Ce cas se réalise lorsque $\delta\omega\simeq 1/\tau$. En fait cette condition n'est jamais atteinte en lumière visible : les valeurs typiques de $\tau$ sont de l'ordre de 1/100 de seconde, donc la cohérence partielle est réalisée lorsque $\delta\omega\simeq 100 \; s^{-1}$. Les fréquences optiques sont de l'ordre de $10^{15} \; s^{-1}$. Ce qui donne des différences relatives de longueur d'onde $$\frac{\delta\omega}{\omega}=\frac{\delta\lambda}{\lambda}=10^{-13}$$

Les longueurs d'onde optique étant de l'ordre de la fraction de micron, il faut donc pour avoir cohérence partielle que

$$\delta\lambda \simeq 10^{-10} \mbox{ \AA}$$

Ce qui est impossible à réaliser même avec des lasers très ``monochromatiques'' qui possèdent une largeur de raie (et donc une incertitude sur leur longueur d'onde) de l'ordre de 0.01 Å. On ne peut donc pas faire interférer des ondes planes issues de sources différentes, l'accord de $10^{-10}$ Å en longueur d'onde étant impossible à réaliser. C'est pour cette raison que les montages optiques (trous d'Young, Michelson, ...) font toujours interférer deux parties d'une même onde.

En résumé

•  On dira que deux ondes sont cohérentes entre elles si elles présentent une différence de phase stationnaire 
  
  
• Lorsque deux ondes sont cohérentes, l'intensité moyenne est le carré du module de la somme des amplitudes complexes. 
  
  
• Lorsque deux ondes sont incohérentes, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes.

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