Interférence de deux ondes planes de fréquences différentes -- Notion de cohérence mutuelle

On considère deux ondes planes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ de pulsations $\omega _1$ et $\omega _2$, de vecteurs d'onde $\vec{k}_1$ et $\vec{k}_2$ se propageant toutes deux parallèlement à l'axe $Oz$. On note $\psi_1$ et $\psi_2$ les amplitudes complexes des deux ondes et on s'intéresse à l'intensité moyenne observée en un point $O$ pris comme origine des coordonnées.
 
 

On pose

$$\omega_0=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$$

et

$$\delta\omega=\omega_2-\omega_1 \; \; \; \ll \omega_0$$

Au point $O$ les amplitudes complexes s'écrivent

$$\psi_1=\psi_{01} \; e^{-i \omega_1 t} \; = \; \vert\psi_1\vert e^{i\theta_1} \; e^{-i \omega_1 t}$$
$$\psi_2=\psi_{02} \; e^{-i \omega_2 t} \; = \; \vert\psi_2\vert e^{i\theta_2} \; e^{-i \omega_2 t}$$

$\theta_1$ et $\theta_2$ représentent les phases de $\psi_{01}$ et $\psi_{02}$.

Calcul de l'intensité instantannée

L'intensité instantannée $J(t)$ au point $O$ est proportionnelle au carré du champ électrique, donc au carré de la somme des parties réelles des amplitudes complexes des deux ondes : $$J(t)=({\Re}\mbox{e}\;\psi_1+{\Re}\mbox{e}\;\psi_2)^2$$

Ce qui s'écrit, en remarquant que ${\Re}\mbox{e}\;z=\frac{1}{2} (z+\bar{z})$ :

$$J(t)={\Re}\mbox{e}\;[\psi_1]^2+{\Re}\mbox{e}\;[\psi_2]^2 + {......box{e}\;[\psi_1 \psi_2] + {\Re}\mbox{e}\;[\psi_1 \bar{\psi}_2]$$

Il vient la somme de quatre termes

$$\begin{array}{lcll}J(t) & = & \displaystyle \vert\psi_{1}\v......ega_1) t+\theta_1-\theta_2] & \mbox{ \it terme (4)}\end{array}$$

L'intensité moyenne $I$

Elle s'écrit comme la moyenne sur le temps de pose $\tau$ du détecteur utilisé. Nous la noterons ainsi $$I=\frac{1}{\tau} \; \int_0^\tau J(t) \; dt \; = \; \langle J(t)\rangle_\tau$$

$I$ est la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans $J(t)$. En lumière visible, les fréquences sont de l'ordre de $10^{15}$ Hz et les temps de pose des détecteurs varient entre la milliseconde et la seconde. $\tau$ contient alors typiquement $10^{12}$ périodes de $\psi_1$ et $\psi_2$. Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de $J(t)$.

• La moyenne du terme 1 vaut $\frac{1}{2} \vert\psi_{1}\vert^2$ (la moyenne d'un cosinus carré vaut $1/2$) si $\tau$ vaut un nombre entier de périodes $T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}$ ($\tau = N T_1$, $N\simeq 10^{12}$). Même résultat si $\tau$ n'est pas un nombre entier de périodes (exemple $\tau=(N+0.4) \: T_1$), car dans notre cas $N$ est de l'ordre de $10^{12}$ et la contribution à l'intégrale de la partie fractionnaire de $\tau/T_1$ est négligeable (voir figure ci-dessous).

 

 



• Idem pour le terme 2
• Même raisonnement pour le terme 3 qui vaut alors la moyenne d'un cosinus, c'est à dire zéro
• La moyenne du terme 4 s'écrit $f(\tau)\; \vert\psi_{1}\psi_{2}\vert$ avec $f(\tau)=\langle \cos(\delta \omega\, t+\theta_1-\theta_2)\rangle_\tau$. Elle dépend de la valeur de la différence $\delta\omega = \omega_2-\omega_1$. Appelons $T_4=\frac{2\pi}{\delta\omega}$ la période du quatrième terme.
• Si $\tau\gg T_4$ (donc si $\delta\omega$ est grand devant $1/\tau$) $f(\tau)$ vaut zéro pour les mêmes raisons que le terme 3.
• Si $\tau\ll T_4$ ($\delta\omega \ll 1/\tau$) alors le terme 4 est constant dans l'intervalle $[0,\tau]$ et $f(\tau)=\cos(\theta_1-\theta_2)$.

 

 
 
 


 

• Dans le cas intermédiaire $\tau\simeq T_4$, $f(\tau)$ est un nombre compris entre -1 et 1.

L'intensité moyenne au point $O$ s'écrit alors comme la somme de trois termes $$I=\frac{\vert\psi_{1}\vert^2}{2} + \frac{\vert\psi_{2}\vert^2}{2} + f(\tau)\; \vert\psi_{1}\psi_{2}\vert$$

ou

$$I=I_1+I_2+2 f(\tau)\sqrt{I_1 I_2}$$

avec

• $I_1=\frac{\vert\psi_{1}\vert^2}{2}$ l'intensité moyenne de l'onde $\Sigma_1$.
• $I_2=\frac{\vert\psi_{2}\vert^2}{2}$ est l'intensité moyenne de l'onde $\Sigma_2$.
• Le terme croisé $I_{12}=f(\tau)\; \vert\psi_{1}\psi_{2}\vert=2 f(\tau)\sqrt{I_1 I_2}$ est l' intensité mutuelle. C'est lui qui contient les interférences entre les deux ondes. Il dépend de leur différence de phase.

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