Licence de Physique -- Devoir d'optique

Interféromètre de Michelson1

Pour le 23 Avril 2001

Dans tout le sujet, sauf la partie 9 qui concerne la polarisation, on se place dans l'approximation de l'optique : la grandeur qui se propage est assimilée à un scalaire.

1. Questions préliminaires

On se place ici dans la cas idéal de deux sources lumineuses $S_1$ et $S_2$ ponctuelles monochromatiques, de même longueur d'onde $\lambda$ et de même intensité $I_0$. On pose $a=S_1S_2$ et on appelle $C$ le milieu du segment $S_1S_2$.
  1. Exprimer l'intensité lumineuse en $P$ en fonction de $S_1P$ et $S_2P$ et en déduire la forme générale des surfaces d'égale intensité.

    2.  

     

    On utilise maintenant un écran $(E)$ et on appelle axe du système la droite $(CB)$ normale à l'écran. On se place dans l'approximation de Gauss (interférences en un point $P$ proche de l'axe).

    \epsfbox {qprel.eps}

  2. Les sources $S_1$ et $S_2$ sont sur l'axe (fig. 1). Pourquoi les franges d'interférences sont-elles des anneaux ? Calculer le rayon $r_n$ de la frange numéro $n$ ($n=0$ étant le centre). On pourra noter $p_0$ l'ordre d'interférence (rapport de la différence de marche à la longueur d'onde), supposé entier au point $B$. Quelle est la fréquence spatiale locale de la figure d'interférences au point $P$ de coordonnées $(x,y)$ sur l'écran $(E)$ ?
  3. Les sources $S_1$ et $S_2$ sont perpendiculaires l'axe (fig. 2). Ecrire l'intensité au point $P$. Quelle est la forme des franges ? Quelle est la fréquence spatiale locale de la figure d'interférences ? En déduire l'interfrange au voisinage de $B$.
  4. Les sources $S_1$ et $S_2$ sont maintenant à l' ``infini''. Montrer dans ce cas que les deux ondes qui interfèrent sont planes de vecteurs d'onde $\vec k_1$ et $\vec k_2$. Exprimer l'intensité au point $P$.
La suite du problème est consacrée à l'interféromètre de Michelson

\epsfbox {michelson1.eps}

L'interféromètre (fig. 3) est constitué de

Dans un premier temps, on suppose que l'épaisseur de la séparatrice est négligeable et qu'elle n'introduit aucun déphasage ; on n'envisage pas de lame compensatrice. L'interféromètre est dit ``réglé'' lorsque $M_1$ est exactement orthogonal à $Ox$ et $M_2$ à $Oy$, et que les deux miroirs sont symétriques par rapport à $S_p$. Les deux miroirs peuvent pivoter autour des axes $A_1z$ et $A_2z$. L'écran $(E)$ est placé perpendiculairement à $Oy$. On pose $OB=D$.

On dispose de trois lentilles convergentes $L_1$, $L_2$ et $L_3$ de focales 5 mm, 20 cm et 1 m respectivement.

2. Interféromètre utilisé avec une source ponctuelle

Une source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ est placée en $S$ sur l'axe $Ox$. On pose $SO=d$.
  1. Comment peut-on obtenir simplement une telle source à partir d'un laser et de lentille(s) ?
  2. On part de l'interféromètre réglé avec $OA_1=OA_2=d'=10$ cm et on déplace $M_1$ par translation d'une distance $e$ dans la direction des $x$ croissants.
    1. Faire une figure soignée et montrer qu'on observe alors des franges d'interférence en précisant la position des sources secondaires $S_1$ et $S_2$.
    2. Quelle est leur forme géométrique ? Calculer le rayon sur l'écran des trois premières franges sombres. A.N.: $d=10$ cm, $D=10$ cm, $e=0.5$ mm, $\lambda=632.8$ nm.
    3. Montrer qu'on peut obtenir géométriquement les sources secondaires en utilisant la source primaire et les miroirs $M_2$ et $M'_1$ ($M'_1$ est l'image de $M_1$ par rapport à la séparatrice).

      4.  

       
       
       

  3. On part à nouveau de l'interféromètre réglé et on fait tourner $M_1$ autour de $A_1$ d'un angle $\alpha$ petit. 
    1. Faire une figure soignée et montrer qu'on observe alors des franges d'interférence, en précisant la position des sources secondaires $S_1$ et $S_2$. Quelle est leur forme géométrique ? Calculer la position sur l'écran des franges sombres. Faire l'application numérique pour $d=10$ cm, $D=10$ cm, $\alpha=2$ minutes, $\lambda=546$ nm.

      2.  

       

      On suppose que les miroirs gardent la même position dans la suite de la question 2-3

    2. On remplace la source ponctuelle par une fente très fine. Comment faut-il disposer celle-ci pour obtenir des interférences sur l'écran ?
    3. A partir du cas précédent, on élargit maintenant la fente de façon symétrique en lui donnant une largeur $b$. Montrer, en supposant que la source est uniformément éclairée de manière incohérente sur sa largeur, qu'on a une superposition continue de systèmes d'interférences, ce qui conduit à une diminution du contraste. Exprimer l'intensité lumineuse sur l'écran. Comment définir le contraste en fonction de $a$, $b$ et des autres données ? Justifier le terme ``contraste'' utilisé à propos de la grandeur ainsi définie. A.N.: $b=0.2$ mm : caculer le contraste des franges.
    4. Qu'appelle-t'on cohérence spatiale d'une source ? En utilisant les résultats de la question précédente, définir et calculer la largeur de cohérence de la fente.
    5. Peut-on obtenir des interférences quelle que soit la largeur de la fente source ?

3. Interféromètre utilisé avec une source large

On utilise un interféromètre réglé et on déplace $M_1$ d'une distance $e$ dans le sens des $x$ croissants.
  1. On considère une direction de rayons issus de la source caractérisée par l'angle $i$ avec l'axe $Ox$. Montrer qu'un tel rayon, dédoublé par la séparatrice, donnera à la sortie un ensemble de deux rayons parallèles.
  2. Calculer la différence de marche $\delta$ entre ces deux rayons.
  3. Montrer qu'en plaçant en un point de l'axe $Oy$ une lentille convergente $L$ de focale $f'$, les franges d'interférences s'observent dans plan focal image de $L$. Quelle est leur forme ?
  4. Application numérique : calculer les caractéristiques géométriques des deux premières franges sombres obtenues avec une source de longueur d'onde $\lambda$=546 nm, pour $e$=0.5 mm et en utilisant la lentille $L_3$ de focale $f'$=1 m.
  5. La largeur de la source intervient-elle sur le contraste des anneaux ? Que détermine-t'elle ?
  6. Décrire les phénomènes observés lorsqu'on déplace lentement $M_1$ dans le sens des $x$ décroissants.
  7. Comment doit-on choisir les lentilles à utiliser dans les cas suivants :
    1. On cherche à présenter le phénomène à toute une classe
    2. On désire enregistrer un interférogramme
    Justifiez votre réponse.

4. Interférogrammes obtenus avec diverses radiations

On motorise le déplacement du miroir $M_1$. Sa translation se fait alors à vitesse constante $V$. On appelle $x(t)$ l'abcisse du point $A_1$ sur l'axe $Ox$. A l'instant initial, $x(0)=d'-e$. Dans le plan focal de la lentille de projection $L_2$, une photodiode placée sur l'axe $Oy$ délivre un photocourant $I(t)$ proportionnel à l'intensité lumineuse reçue. Un enregistreur permet de tracer la courbe $I(t)$.
  1. On éclaire l'interféromètre par un laser de longueur d'onde $\lambda$=632.8 nm. Tracer l'allure de l'interférogramme $I(t)$ obtenu. Quelle est sa période temporelle $T$ ?
  2. On utilise maintenant une lampe à vapeur de mercure munie d'un filtre interférentiel laissant passer le doublet jaune du mercure constitué de deux radiations de même intensité, de loingueurs d'onde $\lambda_1$=577 nm, $\lambda_2$=579 nm, soit $\delta\lambda$=2 nm. Tracer l'allure de l'interférogramme $I(t)$. Sur cet interférogramme, dégager deux temps caractéristiques : $T$ analogue à celui de la question précédente, et $T'$. Les relier aux caractéristiques des radiations étudiées et à la vitesse $V$. Que vaut numériquement $\frac{T'}{2 T}$ ? Que représente ce nombre ?
  3. En fait les deux composantes du doublet jaune du mercure sont mieux modélisées par des raies lorentziennes de même profil (c'est à dire de même intensité et de même largeur spectrale $\Delta\lambda$=0.1 nm) centrées sur les nombres d'ondes $\sigma_1=1/\lambda_1$ et $\sigma_2=1/\lambda_2$. Pour la raie 1, la distribution spectrale d'intensité (donnée en fonction de $\sigma=1/\lambda$) peut s'écrire
    4. \begin{displaymath}B_1(\sigma)=\frac{B_0 (\Delta\sigma)^2}{(\sigma-\sigma_1)^2+(\Delta\sigma)^2}\end{displaymath}


    Même chose pour la raie 2 en remplaçant $\sigma_1$ par $\sigma_2$. Les deux largeurs $\Delta\sigma$ sont supposées identiques.

    1. On suppose pour commencer que l'interféromètre est éclairé par la seule raie 1. Déterminer le photocourant en fonction de la différence de marche $\delta$. Exprimer en fonction de $V$ et des autres données le temps caractéristique $\tau$ de la décroissance de l'enveloppe $I(t)$.
    2. L'interféromètre est maintenant éclairé par les deux raies du doublet. Donner l'allure de l'interférogramme $I(t)$ obtenu en évaluant le rapport $\frac{2 \tau}{T'}$. Proposer une méthode expérimentale pour mesurer la largeur spectrale des composantes du doublet jaune du mercure.
    1. A votre avis, quel est le phénomène physique qui permet de justifier que le profil des raies d'une lampe spectrale peut effectivement être modélisé par une lorentzienne ? Connaissez-vous d'autres phénomènes qui peuvent contribuer à la largeur des raies ?
    2. C'est l'enregistreur qui impose une limitation pour la vitesse de translation $V$ du fait de son temps de réponse. Sachant que ce temps est de 0.05 s, calculer la vitesse $V$ correspondante. La vis micrométrique entrainant la translation a un pas de 0.5 mm et fait un tour en dix minutes. La condition précédente est-elle vérifiée ?

5. Franges d'égale épaisseur

L'interféromètre étant réglé, on fait tourner le miroir $M_1$ autour de $A_1z$ d'un angle $\alpha$ faible. Il est alors réglé en ``coin d'air''. On éclaire avec un laser ($\lambda$=632.8 nm) muni d'un élargisseur de faisceau donnant un pinceau de rayons sensiblement parallèles.
  1. Caractériser les interférences obtenues avec ce dispositif. Comment peut-on les observer ? Où doit-on placer l'écran ? Comment doit-on choisir la lentille qui permet d'obtenir des franges bien visibles sur l'écran ? Quelle est la forme et la disposition de ces franges ?
  2. On choisit $\alpha=2'$. Comment peut-on le plus commodément, à l'aide d'une des lentilles $L_1$, $L_2$ ou $L_3$ obtenir des franges distantes de 2 mm sur l'écran $E$ en conservant $d'$=10 cm ? A quelle distance de $O$ doit-on placer cette lentille et l'écran $E$ ? 
  3. La source est toujours monochromatique. On la place dans le plan focal d'une lentille convergente de focale $f'$=10 cm. Mais cette fente possède une certaine largeur géométrique $b$, ce qui fait que tous les rayons qui en sont issus n'ont pas le même angle d'incidence.
    1. Donner les composantes des vecteurs d'onde $\vec{k}_1$ et $\vec{k}_2$ des rayons qui interfèrent après réflexion sur les miroirs $M'_1$ et $M_2$, en notant $i$ l'angle d'incidence sur $M'_1$.
    2. En déduire l'intensité lumineuse et déterminer la valeur de $i$ donnant aux franges le meilleur contraste possible.
    3. Evaluer la largeur $b$ maximale admissible pour conserver 500 franges bien contrastées et disposées de part et d'autre de l'ordre zéro.
  4. A l'aide d'une lampe à vapeur de Sodium on éclaire maintenant une fente fine qui sert donc de source et qui est placée dans le plan focal objet d'une lentille convergente de focale 10 cm. On suppose que la lampe délivre uniquement deux radiations de même intensité et de longueurs d'onde $\lambda_1$=589.0 nm et $\lambda_2$=589.6 nm (doublet du Sodium).
    1. Comment doit-on disposer cette fente pour obtenir des franges bien contrastées ?
    2. On translate le miroir $M_1$ dans la direction $Ox$. Décrire les phénomènes observés. De combien faut-il déplacer $M_1$ pour retrouver exactement le même contraste ?

6. Interférences en lumière blanche

Comme précédemment, l'interféromètre est soigneusement réglé et on a fait tourner le miroir $M_1$ d'un angle $\alpha$ faible. On utilise une lampe délivrant de la lumière blanche.
  1. Décrire le phénomène obtenu. Que se passe-t'il quand on translate le miroir $M_1$ parallèlement à $Ox$ ?
  2. On dispose à la place de l'écran de la question 5-2 la fente d'un spectroscope à prisme, disposée en $B$ parallèlement à $Oz$. On déplace $M_1$ d'une distance $e$. Qu'observe-t'on dans le spectroscope ? La lumière blanche utilisée est supposée correspondre à des longueurs d'onde comprises entre 400 et 750 nm ; décrire précisément le phénomène si
    1. e=0.02 mm
    2. e=1.5 mm
  3. On revient au dispositif de la partie 2 : l'interféromètre est réglé et l'onde incidente est monochromatique. On introduit devant $M_2$ une lame à faces parallèles très mince d'indice $n=1.5$ et d'épaisseur $e$. Que se passe-t'il ?
  4. On effectue la même opération en lumière blanche
    1. Que se passe-t'il lorsqu'on introduit la lame ? Comment et de combien doit-on déplacer $M_1$ pour obtenir à nouveau des franges ?
    2. En fait l'indice du verre de la lame dépend de la longueur d'onde suivant la loi $n(\lambda)=A+B/\lambda^2$. Comment le résultat précédent est-il qualitativement modifié ?
    3. Définir les trois termes : ordre zéro, frange achromatique, teinte plate et les illustrer en utilisant les expériences décrites dans cette question 6-4. Donner en particulier l'ordre $p_a$ de la frange achromatique en fonction de $B$.
  5. On règle un interféromètre de Michelson à la teinte plate. Décrire succintement ce réglage. On introduit ensuite devant le miroir $M_2$ la lame de verre utilisée précédemment. Que doit-on faire pour retrouver la teinte plate ? Comparer avec le résultat de la question 6-4.
  6. Quelle est l'utilité de la lame compensatrice dans un interféromètre réel ? Pourquoi a-t'on besoin de compenser le chemin optique parcouru dans la lame séparatrice ?

7. Interféromètre de Twyman

On reprend le dispositif de départ (partie 1), mais on rmplace le miroir $M_1$ par un miroir sphérique ${\cal M}_1$ (concave ou convexe) de rayon $R$=10 cm et d'axe $Ox$. On réalise $OA_2=OA_1$.
  1. L'observation se fait à l'oeil nu. Quel phénomène d'interférences observe-t'on ? Déterminer la position des franges brillantes. Le résultat est-il le même pour un miroir convexe ou un miroir concave ?
  2. On déplace ${\cal M}_1$ dans le sens $Ox$. Comment se déplacent les franges ?
  3. Montrer comment un tel dispositif peut être utilisé pour détecter les défauts de polissage d'une surface optique (lentille, prisme,...).

    4.  

     

8. Mesures physiques faites à l'aide du Michelson

Dans cette partie l'interféromètre est utilisé pour réaliser des expériences mettant en jeu de faibles variations d'indice. On l'utilise en ``coin d'air'' et on fait pour celà subir au miroir $M_1$ une rotation autour de $A_1z$ dans le sens trigonométrique, d'un angle $\alpha=10^{-3}$ rad. La source est le laser+élargisseur de faisceau, et on projette des franges verticales sur l'écran $E$ à l'aide d'une lentille (question 5-2). Le grandissement est $\gamma=-10$.
  1. On produit, devant le miroir $M_1$ et parallèlement à celui-ci, un jet de butane horizontal de diamètre 1 mm (typiquement le jet de gaz s'échappant d'un briquet). L'indice de l'air dans les conditions de l'expérience est de 1.00029, celui du butane de 1.00062. Donner, en la justifiant, l'allure des franges obtenues.
  2. On place maintenant devant $M_1$ une cellule à faces parallèles d'épaisseur $a$=1 cm qui contient initialement de l'air ambiant ($P_0$=1 bar, $T_0$=293 K). On suppose que l'indice de réfraction $n$ d'un gaz suit la loi de Gladstone : $n-1$ proportionnel à la masse volumique.
    1. Montrer que si on comprime l'air de la cellule à température constante, les franges se déplacent. Déterminer le sens du déplacement et la surpression que l'on peut ainsi détecter si l'on considère qu'on peut apprécier un déplacement de frange de 0.05 interfrange. Les hypothèses utilisées seront clairement indiquées.
    2. Si l'air contenu dans la cellule est chauffé à la pression constante de 1 bar, montrer que les franges se déplacent également. Donner le sens du déplacement et la variation de température que l'on peut détecter.


9. Interférences en lumière polarisée

Sur les bras d'un interféromètre réglé en coin d'air et utilisé en lumière monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, on introduit, aux positions indiquées sur le dessin, des lames polarisantes $P_1$, $P_2$, $P_e$, $P_s$. On appelle ``axe'' de la lame polarisante la direction du champ électrique de l'onde qui en sort. On suppose que les éléments de l'interféromètre (miroirs et séparatrice) n'influent pas sur la polarisation de la lumière.

\epsfbox {michelson2.eps}

L'observation est faite dans la direction indiquée sur la figure précédente, en notant $\alpha_e$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_s$ les angles que font les axes des lames avec l'axe $Oz$.

  1. Au départ, on place seulement les polariseurs $P_1$, $P_2$ avec leurs axes parallèles à $Oz$. Que voit-on ?
  2. On fait tourner $P_1$ de $\pi/2$ autour de $Ox$. Que voit-on ? On conserve cette disposition des polariseurs croisés dans la suite.
  3. On ajoute la lame $P_s$ que l'on fait tourner autour de $Oy$. Calculer le contraste des franges en fonction de $\alpha_s$. Pour quelles valeur de $\alpha_s$ est-il maximal ?
  4. On retire $P_s$ et on introduit $P_e$. Qu'observe-t'on pour une valeur donnée de $\alpha_e$ ? Que se passe-t'il quand on fait tourner $P_e$ autour de $Ox$ ?
  5. On replace $P_s$ avec $\alpha_s=\pi/4$, en maintenant $P_e$. Que se passe-t'il quand on fait tourner $P_e$ autour de $Ox$ ? Comparer à l'un des cas précédents.
  6. Qu'est-ce qu'une lame quart d'onde ? Qu'appelle-t-on axe rapide et axe lent de la lame ?
  7. $P_s$ est enlevé ; on place le polariseur $P_e$ avec $\alpha_e=0$. Devant $M_1$ et $M_2$, on remplace les polariseurs par deux lames quart d'onde à la longueur d'onde $\lambda$, telles que $Oz$ soit la bissectrice des angles entre axes lent et rapide des lames, bissectrice intérieure pour l'une et bissectrice extérieure pour l'autre. Que voit-on ? Justifier le résultat.
  8. Le polariseur $P_e$ est toujours seul utilisé avec $\alpha_e=0$. On place devant les miroirs $M_1$ et $M_2$ deux lames de quartz identiques et d'épaisseur 2.5 cm et de pouvoir rotatoire 2170$^\circ /$m. Qu'est-ce que le pouvoir rotatoire ? Qu'obtient-on à la sortie ?
  9. On garde le polariseur $P_e$ dans sa position précédente et on met sur les deux bras de l'interféromètre deux cylindres de flint (verre au plomb) de longueur 5 cm placés dans l'entrefer de deux électro-aimants produisant un champ magnétique uniforme de 0.1 T parallèle à la direction de propagation de la lumière, les deux champs étant opposés (voir figure ci-après). La constante de Verdet du flint, exprimant le pouvoir rotatoire par Telsa, est de 530$^\circ$/m/T. Qu'obtient-on dans la direction d'observation ? Quelle est la valeur numérique du contraste des franges ?

    10.  

     
     
     

\epsfbox{michelson3.eps}
 

Footnotes

... Michelson1
Extrait de l'épreuve d'agrégation de physique, session de 2000 (durée de l'épreuve : 5 heures !)