Propagation d'une onde monochromatique quelconque

Soit ${\cal U}(\vec{r},t)$ le champ électrique d'une onde quelconque. Ce champ est solution de l'équation de propagation et est à ce titre une combinaison linéaire de fonctions de type $\exp i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)$ . Si l'onde est monochromatique, la pulsation est la même pour tous les termes de la combinaison linéaire et il vient en facteur un $e^{-i\omega t}$ . Le champ s'écrit alors :

$${\cal U}(\vec{r},t)=\psi(x,y,z)\; e^{-i\omega t}$$

la partie spatiale $f_z(x,y)=\psi(x,y,z)$ est simplement l'amplitude complexe de l'onde

Propagation de l'onde entre deux plans $z=$Cte

Soit $f_0(x,y)$ l'amplitude supposée connue d'une onde monochromatique quelconque dans le plan $z=0$ . Cette fonction bidimensionnelle est somme de sa transformée de Fourier :

$$f_0(x,y)=\int\!\!\!\int_{-\infty}^\infty \hat{f}_0(u,v) \; e^{2i\pi(u x+v y)} \; du \: dv$$ (1.16)

Faisons le changement de variables $\alpha=\lambda u$ , $\beta=\lambda v$ où $\lambda$ est la longueur d'onde. Il vient

$$f_0(x,y)=\int\!\!\!\int \frac{1}{\lambda^2}\; \hat{f}_0\left(\fra... ... \exp\left[\frac{2i\pi}{\lambda} (\alpha x+\beta y)\right] \; d\alpha \: d\beta$$ (1.17)

La quantité $\hat{f}_0\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda}\right)$ est appelée spectre angulaire de $f_0(x,y)$ . Comparons cette expression à l'équation 1.14 exprimant une somme discrète d'ondes planes dans le plan $z=0$ . Nous avons ici la même formule en ayant remplacé la somme discrète par une intégrale. L'amplitude $f_0(x,y)$ apparait alors comme une somme continue d'ondes planes se propageant dans des directions $(\alpha,\beta)$ . Le terme $\hat{f}_0\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda}\right) \; d\alpha \: d\beta$ est l'équivalent du $A_n$ de la formule 1.14 et représente le poids de chacune des ondes planes dans la somme. Pour obtenir l'expression $f_z(x,y)$ de l'amplitude de l'onde dans un plan $z\ne 0$ il suffit de multiplier chaque onde plane par un terme $\exp \frac{2i\pi \gamma z}{\lambda}$ où $\gamma=\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}$ , puis de faire la somme. Il vient :

$$f_z(x,y)=\int\!\!\!\int \frac{1}{\lambda^2}\; \hat{f}_0\left(\fra... ...t[\frac{2i\pi}{\lambda} (\alpha x+\beta y+\gamma z)\right] \; d\alpha \: d\beta$$ (1.18)