Diffraction de Fraunhofer par un trou circulaire

Soit un trou de diamètre $d$ éclairé sous incidence normale par une onde plane d'amplitude $\psi_0$ dans le plan $z=0$ . L'écran et l'onde incidente sont à symétrie de révolution autour de l'axe optique, la figure de diffraction sera donc aussi à symétrie de révolution.

Posons

• $\vec\rho=(x,y)$ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le plan du trou
• $(\rho,\phi)$ les coordonnées polaires correspondantes
• $\vec\omega=(\alpha,\beta)$ les deux premières composantes d'un vecteur unitaire indiquant une direction dans le plan $z>0$
• $(\omega,\gamma)$ les coordonnées polaires correspondantes

L'amplitude diffractée dans la direction $(\alpha,\beta)$ s'écrit

$$f\infty (\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \hat{t} \left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda} \right)$$

avec ici

$$t(x,y)=\Pi\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{d} \right)$$

donc

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \int... ...tsize aire du trou}} \exp \frac{2 i \pi}{\lambda}(\alpha x+\beta y) \; dx dy$$

ou encore

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \int\!\!\!\int \exp \frac{2 i \pi}{\lambda}\vec\omega . \vec\rho \; dx dy$$

passage en polaires : $dx dy \rightarrow \rho d\rho d\phi$ , $\vec\omega . \vec\rho=\omega\rho\cos(\phi-\gamma)$ et en posant $\theta=\phi-\gamma$ , il vient

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \int... .../2}\rho d\rho\; \int_{\phi=0}^{2\pi} e^{ik\omega\rho\cos(\theta)} \; d\theta$$

Introduisons maintenant la fonction de Bessel

$$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i x \cos\phi} d\phi$$

il vient

$$f_\infty (\alpha,\beta)=2\pi \frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \int_{\rho=0}^{d/2}\rho J_0(k\omega d)\; d\rho$$

La relation suivante entre les fonctions de Bessel $J_0$ et $J_1$

$$x J_0(x)=\frac{d}{dx} [x J_1(x)]$$

nous permet d'écrire

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\pi d \frac{e^{ikr}}{i\lambda r k \omega} \; \psi_0 J_1\left(\frac{k\omega d}{2}\right)$$

soit en introduisant la fonction ``$J_1$ cardinal'' $J_{1c}(x)=J_1(x)/x$

$$f_\infty (\alpha,\beta)=2 \psi_0 S \frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; J_{1c}\left(\frac{\pi\omega d}{\lambda}\right)$$

L'intensité s'écrit

$$I(\omega)= \frac{4 \vert\psi_0\vert^2 S^2}{\lambda^2 r^2} \; J_{1c}^2\left(\frac{\pi\omega d}{\lambda}\right)$$

Fig;. 1.14: Figure de diffraction d'un trou circulaire. L'intensité diffractée est décrite par une fonction $J_1$ cardinal carré à symétrie de révolution autour de l'axe optique (voir le texte). (a) Trou ; (b) Figure de diffraction (intensité) ; (c) Figure de diffraction d'un trou plus petit ; (d) Graphe de la fonction $J_{1c}^2(\pi x)$  ; (e) Zoom de la courbe (d).

avec $\omega=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=\sin{\theta}$ , $\theta$ étant l'angle des coordonnées cylindriques défini au paragraphe 1.1.1. On remarque comme on s'y attendait que l'intensité est à symétrie de révolution autour de $Oz$ . Cette fonction appelée ``fonction d'Airy'' est maximum au centre et présente un comportement oscillatoire : la figure bidimensionnelle est une tache brillante entourée d'anneaux noirs et brillants comme on peut le voir sur la figure 1.14. Les rayons angulaires des premiers anneaux et la valeur de l'intensité sur les anneaux brillants sont donnés dans le tableau suivant :

	$\sin\theta$	$I/I(0)$
1er anneau noir	1.22 $\lambda/d$	0
1er anneau brillant	1.63 $\lambda/d$	0.017
2e anneau noir	2.23 $\lambda/d$	0
2e anneau brillant	2.68 $\lambda/d$	0.004
3e anneau noir	3.23 $\lambda/d$	0
3e anneau brillant	3.70 $\lambda/d$	0.0016

La fraction de l'intensité diffractée dans le pic central sur l'intensité diffractée dans tout l'espace est ici de 83.8 % (à comparer à 81.5 % pour une ouverture carrée de côté $d$ ).