L3 Physique -- Examen d'optique

Session 1 -- 28 Avril 2015

Durée 3h. Documents autorisés : une feuille A4 recto-verso manuscrite, formulaire de TF.

Lisez bien tous les mots et toutes les lettres de l'énoncé. Car une réponse qui est seulement ``presque juste'' est aussi ``tout à fait fausse''...

Exercice : cohérence spatiale

Un filament d'ampoule spatialement incohérent est assimilable à une source plate, rectangulaire de largeurs $d=2$ mm dans la direction $x$, et $l=1$ cm dans la direction $y$, éclaire un écran $(P)$ situé à une distance $L\gg l$. La source est supposée monochromatique de longueur d'onde $\lambda=550$ nm. Un expérimentateur perce l'écran $(P)$ de deux trous quasi-ponctuels, en deux points $M$ de coordonnées $(0,0)$ et $M'$ de coordonnées $(a,b)$ dans le but de réaliser une expérience d'interférences.

1. Dans quelle direction doit-il placer le trou $M'$ pour avoir le plus de chances d'observer des interférences, et pourquoi ? Dans la suite, on suppose cette condition réalisée.
2. Ecrire la distribution angulaire de brillance du filament vu depuis le plan $(P)$. En déduire son degré de cohérence spatiale.
3. A quelle distance $L_m$ de $(P)$ l'expérimentateur doit-il placer le filament pour que les points $M$ et $M'$ soient suffisamment cohérents entre eux (degré de cohérence $\simeq 1/2$) ? On donne ci-après une table de valeurs de la fonction sinc.

4. On réalise $L\gg L_m$. Les franges produites par les points $M$ et $M'$ sont observées sur dans le plan $(E)$ situé à une distance $D$ de $(P)$. Quel sera le contraste des franges ?
5. Même question si $L=L_m/2$.

$x$	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2	2.2	2.4	2.6	2.8
sinc $x$	1	0.99	0.97	0.94	0.89	0.84	0.78	0.70	0.62	0.54	0.45	0.37	0.28	0.20	0.12

Problème

Biprisme de Fresnel

Une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda_0$ et d'amplitude $\psi_0$ éclaire sous incidence normale un biprisme formé de deux prismes identiques d'indice $n$ et d'angle faible $A$ (voir schéma ci-contre). L'épaisseur maximale des prismes est notée $\Delta$. Les prismes sont supposés de dimensions supposées infinies dans la direction $Oy$. Ce biprisme est placé dans le plan $z=0$, on observe dans le plan $z=d$. Dans tout le problème, on néglige la diffraction par les bords des prismes, ce qui revient à considérer que les ondes 1 et 2 en sortie de chaque prisme sont planes. On donne les valeurs numériques suivantes : $\lambda_0=500$ nm, $d=1$ m, $n=1.5$, $A=5^\circ$.

1. Ecrire, dans l'approximation paraxiale, le coefficient de transmission du prisme 1 (négliger les effets de bords : on ne multipliera pas par une porte qui limite la taille du prisme). En déduire l'expression de l'onde 1 dans le plan $z=0^+$ à la sortie du prisme, puis dans le plan $z=d$.
2. Mêmes questions pour le prisme 2 et l'onde 2.
3. Calculer l'intensité $I(x)$ dans le plan $z=d$, donner l'interfrange $a$.
   

   NB : il est possible de passer à la question 7 (paragraphe 2.2) sans traiter les questions 4 à 6.

4. Montrer que l'intensité peut se mettre sous la forme $K. (1+\cos(2\pi\nu_0\tau))$ avec $K$ une constante, $\nu_0$ la fréquence associée à $\lambda_0$ et $\tau$ une variable dont on précisera l'expression en fonction de $A$ et $n$. Quelle est la signification physique de $\tau$ ?
5. L'onde incidente, toujours plane et sous incidence normale, est cette fois quasi-monochromatique autour de la longueur $\lambda_0$, avec un profil spectral $P(\nu)$, $\nu$ étant la fréquence. Ecrire l'intensité des franges dans ce cas.
6. L'observation révèle des franges dont le contraste décroit avec la distance au centre, comme sur la figure ci-dessous. La fonction contraste montre un comportement de la forme $C(x)=\exp(-\vert x\vert/L)$ avec $x$ la distance et $L$ une largeur caractéristique. Cette fonction est tracée sur le graphe de droite, en fonction de la variable $x/a$.

   

   1. Question indépendante : Comment a-t-on pu faire pour mesurer le contraste local $C(x)$ à partir de l'intensité des franges ?
   2. Soit $\delta\nu$ la largeur spectrale de la fonction profil. Donner la définition et l'expression du temps $\tau_c$ de cohérence temporelle de l'onde. En déduire une relation entre $L$ et $\delta\nu$. A.N. calculer $\frac{\delta\nu}{\nu_0}$ avec les données numériques de l'énoncé et $L$ mesuré sur le graphe (on ne demande pas une grande précision).
   3. En déduire un ordre de grandeur de la longueur de cohérence temporelle de cette onde.
   4. Exprimer le contraste en fonction de $\tau$, puis calculer, à une constante multiplicatice près, le spectre $F(\nu)$ de la lumière incidente en fonction de la fréquence $\nu$. A quel forme de profil a-t-on affaire ?

Biprisme anisotrope

Le biprisme est cette fois forme de deux prismes anisotropes uniaxe taillés dans le même cristal, mais dont les axes optiques sont orientés comme sur le schéma ci-contre : axe parallèle à $\hat y$ pour le prisme 1, axe parallèle à $\hat x$ pour le prisme 2. Les indices ordinaire et extraordinaire sont notés respectivement $n_o$ et $n_e$. Comme précédemment, l'angle au sommet des deux prismes est $A\ll 1$ et l'épaisseur maximale est $\Delta$. L'ensemble toujours supposé de dimensions infinies dans la direction $Oy$.

L'éclairage est fait sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ Ce biprisme est placé dans le plan $z=0$, on observe dans le plan $z=d$. Là encore, on négligera la diffraction par les bords des prismes.

6

1. Le champ incident a une polarisation rectiligne parallèle à $\hat y$.
   1. Quel est l'état de polarisation de l'onde 1 à la sortie du prisme 1 ?
   2. Ecrire le coefficient de transmission associé au prisme 1
   3. Ecrire le champ électrique $\vec E_1(x,y)$ de l'onde 1 dans le plan $z=0$ puis dans le plan $z=d$ (se limiter à une approximation à l'ordre 1 en $A$).
   4. Mêmes questions pour le prisme 2 et l'onde 2
   5. Ecrire l'intensité des franges dans le plan $z=d$. Préciser l'interfrange $a$ et la position $x_0$ du centre des franges.
   6. Rappeler la définition de la biréfringence du cristal. Intervient-elle dans ce problème ?
2. Le champ incident a une polarisation rectiligne parallèle à $\hat x$. Comment est modifiée l'intensité des franges ?

3. Le champ incident a une polarisation rectiligne qui fait un angle de $\pi/4$ avec l'axe $\hat x$
   1. Préciser l'orientation des lignes neutres des prismes et écrire le vecteur de Jones du champ incident dans cette base.
   2. Expliquer pourquoi on observe 4 ondes planes de type $\vec E_p=\vec E_{0p} e^{i \vec k_p.\vec r}$ à la sortie du biprisme. Préciser leur amplitude $E_{0p}$, leur direction de polarisation et leur vecteur d'onde $\vec k_p$.
   3. Parmi ces 4 ondes, préciser celles qui sont cohérentes entre elles et celles qui ne le sont pas.
   4. Proposer une méthode pour calculer l'intensité dans le plan $z=d$. Le calcul lui-même n'est pas demandé.

Questions de cours

1. Rappeler la définition du pouvoir de résolution d'un réseau au sens de Rayleigh. Un réseau par transmission est gravé sur un support carré de côté 1cm, il possède 100 périodes par mm. Quel est son pouvoir de résolution dans l'ordre -2 ? Combien voit-on d'ordres diffractés à la longueur d'onde $\lambda=1\,\mu$m?
2. Décrire en quelques lignes le phénomènes d'interférences localisées en faisant ressortir notamment la différence avec des interférences non localisées. Citer un exemple de dispositif optique qui permet d'observer ce type de franges, les conditions d'éclairage nécessaires, et préciser à quel endroit les franges sont localisées.

Voir la solution