Licence de Physique -- Second partiel d'optique II

Documents: feuille A4 RV manuscrite + formulaire de TF - durée 2h

Date: 17 Décembre 2008

Interféromètre de Mach-Zehnder

L'interféromètre de Mach-Zehnder est représenté ci-dessous. Comme dans le Michelson, l'onde incidente est séparée en deux ondes par une lame séparatrice $S_1$ de de coefficient de réflexion $r$ et de transmission $t$ égaux. L'onde 1 se réfléchit sur le miroir $M_1$ faisant un angle de 45$^\circ$ par rapport à la direction de propagation, puis éclaire une seconde lame séparatrice $S_2$ identique à $S_1$ , qui transmet une partie de l'onde vers l'écran d'observation $(E)$ . On nomme ``bras 1'' de l'interféromètre le trajet $S_1 M_1 S_2$ . L'onde 2 se réfléchit sur un miroir $M_2$ incliné de $45^\circ+\theta$ . Une partie de l'onde est ensuite réfléchie vers l'écran d'observation $(E)$ , elle arrive sur cet écran avec un angle incidence $-2\theta$ (voir schéma). On nomme ``bras 2'' le trajet $S_1 M_2 S_2$ . On observe l'interférence des deux ondes 1 et 2 en un point $M$ de coordonnées x,y sur l'écran $(E)$ . On pose $a=O S_1$ , $d=S_1 M_1=S_1 M_2=M_1 S_2=M_2 S_2$ et $b=S_2 E$ . On suppose $\theta\ll 1$ (approximation paraxiale).

Cet interféromètre est éclairé par une onde plane arrivant sous incidence normale (direction de propagation $\hat z$ ).

1. La lumière est monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $E_0$ dans le plan $z=0$ . on se place dans l'hypothèse du champ scalaire (on ne s'occupe pas des directions des champs électriques, comme dans le premier chapitre du cours).
   1. Ecrire l'amplitude complexe des ondes 1 et 2 au point $M$
   2. En déduire l'intensité, donner l'interfrange et le contraste des franges.
2. La lumière est toujours monochromatique mais non polarisée (lumière naturelle). A l'entrée de l'interféromètre, dans le plan $z=0$ , on place un polariseur $P$ dont la direction $\hat{P}$ fait un angle de 45$^\circ$ avec $\hat{x}$ , soit $$\hat{P}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ . On place dans le bras 1 une lame anisotrope $L$ à faces parallèles, d'épaisseur $e$ , dont l'axe optique est parallèle à $\hat{x}$ . La lame est éclairée sous incidence normale, les indices ordinaire et extraordinaire sont nommés respectivement n_o et n_e
   1. Ecrire le champ électrique $\vec E_0$ de l'onde incidente en z=0+ après traversée du polariseur $P$ (on pourra omettre la dépendance temporelle $e^{-i\omega t}$ et on appellera $E_0$ l'amplitude du champ en z=0+).
   2. Ecrire le champ électrique $\vec E_2$ de l'onde 2 en $M$ .
   3. Ecrire les déphasages induits par la lame $L$ sur les deux composantes $E_{1x}$ et $E_{1y}$ du champ électrique $\vec E_1$ de l'onde 1. En déduire l'expression de $\vec E_1$ en $M$ .
   4. Que doit valoir $\lambda$ pour que l'onde 1 soit circulaire gauche (on appellera $\lambda_G$ cette valeur) ?
   5. Si on tourne la lame $L$ de 90$^\circ$ de sorte que l'axe optique soit parallèle à $\hat{y}$ , l'onde 1 sera-t-elle toujours circulaire gauche pour la longueur d'onde $\lambda_G$ de la question précédente ? Sinon, préciser son état de polarisation.
   6. On se place dans le cas où n_o=n_e ($\lambda$ est ici quelconque). Comment s'écrit l'intensité en $M$ dans ce cas ? Qu'est-ce qui a changé par rapport à la question 1 ? Que se passe-t-il si on tourne le polariseur $P$ dans le plan $xOy$  ?
   7. On se place à la longueur d'onde $$\lambda=\frac{2 e (n_o-n_e)}{20}$$ . Calculer le champ $\vec E_1$ en $M$ , faire un schéma montrant l'orientation des vecteurs $\vec E_1, \vec E_2$ et $\hat{P}$ dans le plan $(xy)$ . Calculer l'intensité en $M$ , décrire l'image dans le plan $(E)$ , préciser son contraste.
   8. Même question si $$\lambda=\frac{2 e (n_o-n_e)}{21}$$
   
   Voir la solution

Cohérence spatiale

Un objet périodique spatialement incohérent émet par unité de surface une intensité
$$I_0\: \Pi \left(\frac{x'}{L}\right)\: \cos^2\left(\frac{\pi x'}{l}\right)\: \delta(y')$$ (distribution spatiale d'intensité ou de brillance) où $x'$ et $y'$ représentent les coordonnées dans le plan de l'objet. On suppose $L\gg l$ . Cet objet est placé à très grande distance (considéré comme à l'infini) $D$ d'une paire de trous d'Young ponctuels alignés dans la direction $x$ et séparés de $a$ (les directions $x$ et $x'$ sont parallèles). On observe les franges sur un écran $(E)$ placé à grande distance $d$ du plan des trous. On se place dans l'approximation paraxiale.

1. Ecrire la distribution angulaire de brillance $O(\alpha_0,\beta_0)$ de cet objet ($\alpha_0$ et $\beta_0$ sont les angles associés aux directions $x'$ et $y'$ ).
2. Calculer la transformée de Fourier $\hat O(u,v)$ de $O(\alpha_0,\beta_0)$ Tracer le graphe de la fonction $\hat O(u,0)$ (on suppose $L\gg l$ ).
3. Relier le contraste $C(a)$ des franges d'Young dans le plan $(E)$ à la la transformée de Fourier de $O(\alpha_0,\beta_0)$ (on rappelle que $L\gg l$ )
4. Montrer qu'on n'observe des franges d'interférences qu'au voisinage de 2 valeurs $a_0$ et $a_1$ de la séparation $a$ des trous ($a\ge 0$ ).
5. On réalise a=a₁. Ecrire l'intensité $I(x,y)$ des franges d'Young en un point de coordonnées $(x,y)$ dans le plan $(E)$ . Tracer le graphe de $I(x,0)$ et préciser le contraste des franges.

Voir la solution