Licence de Physique -- Second partiel d'optique

Durée 2 h


Date: Documents autorisés : formulaire de TF + 1 feuille A4 manuscrite recto-verso

Prismes de Wollaston

Le dispositif ci-dessous est constitué de deux prismes accolés (angle de 45$ ^\circ$), taillés dans le même matériau uniaxe parfaitement diélectrique. Les axes optiques sont orthogonaux entre eux. L'axe du premier prisme est parallèle à la direction $ \hat x$ , l'axe du second à la direction $ \hat y$ . Les indices ordinaire et extraordinaire sont notés $ n_o$ et $ n_e$ , on suppose $ n_o>n_e$ . Ce prisme est plongé dans le vide (indice $ n=1$ ). Il est éclairé sous incidence normale par une onde monochromatique non polarisée, de longueur d'onde $ \lambda$ dans le vide, se propageant dans la direction $ \hat z$ .
\includegraphics{wollaston.eps}
  1. Qu'appelle-t-on une onde non polarisée ?
  2. Qu'est-ce qu'un matériau uniaxe ?
  3. Pour quelle raison le vecteur déplacement électrique $ \vec D$ est-il contenu dans un plan (que l'on précisera) ?
  4. Décomposer le vecteur $ \vec D$ en deux polarisations orthogonales $ \vec D_1$ et $ \vec D_2$ . Préciser les directions de $ \vec D_1$ et $ \vec D_2$ .
  5. Pour l'onde correspondant à la polarisation $ \vec D_1$ , faire le tracé des rayons réfractés sur chaque face (construction de Descartes) et calculer l'angle d'émergence (angle entre l'axe $ z$ et la direction du rayon en sortie de la dernière face). Donner l'expression du vecteur d'onde associé à $ \vec D_1$ dans chaque milieu.
  6. Même question pour l'onde correspondant à la polarisation $ \vec D_2$ .
  7. Calculer ces angles dans le cas de la calcite : $ n_e=1.486$ , $ n_o=1.658$ .
  8. A quelle condition sur $ n_o$ et $ n_e$ n'a-t-on qu'un seul rayon en sortie (indication : considérer la réfraction sur la face inclinée à 45 degrés qui sépare les prismes) ? Pourquoi dit-on dans ce cas que le Wollaston se comporte comme un polariseur ?

Cohérence temporelle

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une onde plane arrivant parallèlement à la direction $ \hat z$ . Les interférences sont observées en un point $ M$ de coordonnées $ (x',y')$ dans le plan $ (E)$ de la figure ci-après. On pose $ OC=d$ , $ CM_1=CM_2=a$ et $ CE=b$ et $ D=d+2a+b$ . Le miroir $ M_1$ est éclairé sour incidence normale. Le miroir $ M_2$ est incliné d'un angle $ \theta$ (michelson réglé en coin d'air). La lame séparatrice est supposée d'épaisseur nulle et de coefficient de réflexion en amplitude $ r$ et de transmission $ t$ .
\includegraphics{michelson.eps}

  1. Remplacez le Michelson par un schéma équivalent plus simple.
  2. L'onde incidente est monochromatique de longueur d'onde $ \lambda$ et d'amplitude $ \psi_0$ dans le plan $ z=0$ .
    1. Quelle est la signification physique de la longueur de cohérence d'une onde ? Que vaut-elle dans le cas parfaitement monochromatique ?
    2. Ecrire l'amplitude complexe $ \psi_1(x',y')$ et $ \psi_2(x',y')$ des ondes qui interfèrent au point $ M$
    3. En déduire l'intensité lumineuse $ I(x',y')$ . Décrire la figure observée
    4. Calculer l'interfrange et le contraste des franges
    5. Ecrire la différence de marche entre les deux ondes $ \psi_1$ et $ \psi_2$
    6. En déduire le retard $ \tau$ entre ces ondes et réécrire l'expression de l'intensité en fonction de $ \tau$ .
  3. (Les questions (a) à (d) sont indépendantes de la question 2). L'onde incidente est quasi-monochromatique, de fréquence moyenne $ \nu_0$ , de profil $ P(\nu)=I_0\; \Pi(\frac{\nu}{\delta\nu})$ avec $ \delta\nu\ll\nu_0$ la largeur de $ P(\nu)$ (largeur de bande). On pose $ \lambda_0=c/\nu_0$ et $ \delta\lambda$ la largeur de bande exprimée en longueur d'onde.
    1. Rappeler ce que représente le spectre $ F(\nu)$ d'une onde.
    2. Que vaut $ F(\nu)$ dans notre cas ? Tracez l'allure de son graphe.
    3. Quelle est la longueur de cohérence $ \L _c$ de l'onde ? A.N. : $ \lambda_0=0.600 \mu$ m, $ \delta\lambda=20$  nm.
    4. Calculer le degré complexe de cohérence de l'onde.
    5. En déduire l'intensité au point $ M$ en fonction de la variable $ \tau$ (retard $ \tau$ entre les 2 ondes).
    6. Donner l'expression de la fonction contraste $ C(\tau)$ et tracer son graphe
    7. Tracez l'intensité en fonction de $ \tau$ .
    8. Partant de $ \tau=0$ , pour quelle valeur $ \tau_c$ de $ \tau$ observe-t-on une première fois la disparition des franges ? On appelle ``paquet central de franges'' l'intervalle $ [-\tau_c,\tau_c]$ .
    9. Quelle est la signification physique de $ \tau_c$  ?
    10. Combien de franges seront visibles dans le paquet central ? A.N. $ \lambda_0=0.600 \mu$ m, $ \delta\lambda=20$  nm ?
    11. Que vaut l'interfrange $ i$ (en mètres dans le plan $ (E)$ ) ? A.N. $ \theta=1^\circ$
    12. Quelle est la taille, en mètres dans le plan $ (E)$ , du paquet central de franges ? A.N. (mêmes valeurs)


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