L3 Physique -- Correction de l'examen partiel d'optique

24 Février 2016

Durée 1h30

1. Questions de cours

1. Intensité=puissance $W$/unité de surface. Ici $I=W/a^2=10^4$ W/m$^2$

2. Focale $F=\frac R{n-1}$ avec $R$ le rayon de courbure. Il vient $$\frac{F_2}{F_1}= \frac{n(\lambda_1)-1}{n(\lambda_2)-1}$$ d'où $F_2=96$ cm.

3. La figure est une fonction sinc$^2$ dont le premier zéro est $x=\frac{\lambda z}{l}$ avec $l$ la largeur de la fente. La longueur mesurée vaut $2x=24$ mm ($2x$ car la mesure se fait entre les deux premiers zéros de part et d'autre du centre). On en déduit $l=0.1$ mm.

2. Interféromètre de Mach-Zehnder

1. Schémas équivalents (distance totale $OO'=4d$)
   

2. On enlève la lame $P$ :
   1. Onde 1 : amplitude $\psi_1=\psi_0 rt \, e^{4ikd}$ avec $k=\frac{2\pi}{\lambda}$
      Onde 2 : amplitude $\psi_2=\psi_1$
   2. Intensité $I_1=4\vert\psi_0\vert^2 \, r^2 t^2$, constante. Intensité uniforme (teinte plate)
3. Avec la lame : $\psi_2=\psi_1\, e^{i k (n-1) (e_0+\delta e)}$
4. Intensité $I_2=2 \vert\psi_0\vert^2 \, r^2 t^2 [1+\cos(k (n-1) (e_0+\delta e))]$
5. Si $(n-1) e_0$ multiple de $\lambda$, alors $I_2=2 \vert\psi_0\vert^2 \, r^2 t^2 [1+\cos(k (n-1) \, \delta e)]$.
   Le rapport $\frac{I_2}{I_1}=1+\cos(k (n-1) \delta e)$ permet de calculer $\delta e$ en inversant la formule.

3. Interférences

1. Amplitude complexe de l'onde dans le plan $z=0^+$ :

   $$f_0(x,y)=\psi_0\, \exp\left(-\frac{i\pi\rho^2}{\lambda F} \right)$$ avec $\rho^2=x^2+y^2$.

2. C'est une onde sphérique car la phase est en $\rho^2$. Elle est divergente car le signe de la phase est positif ($F<0$).

3. On identifie avec l'expression générale d'une onde sphérique divergente centrée en $x_0, y0, z0$

   
   

   $$\psi(x,y,z)=\frac{S_0}{\vert z-z_0\vert}\: e^{i k \vert z-z_... ...\pi [ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 ]}{\lambda \vert z-z_0\vert} \right)$$
   
   

   avec $z=0$. Il vient $x_0=y_0=0$, et $z_0=F$ pour la position de la source de l'onde.
   De plus on a l'identification $$\psi_0=\frac{S_0}{\vert F\vert}\, e^{i k \vert F\vert}$$

4. A partir de l'expression générale de la question 3, on en déduit
   
   $$f_z(x,y)=\frac{S_0}{z-F}\: e^{i k (z-F)}\: \exp\left(\frac{i... ...^{i k z}\: \exp\left(\frac{i\pi \rho^2}{\lambda (z-F)} \right)$$
   
   

5. L'écran $(E)$ se trouve à une distance $z=2d$ de la lentille. L'amplitude complexe de l'onde 1 se déduit de la question précédente :
   
   $$\psi_1(x,y)=t f_{2d}(x,y)=\frac{\psi_0 t \vert F\vert}{2d-F}... ...i k 2d}\: \exp\left(\frac{i\pi \rho^2}{\lambda (2d-F)} \right)$$
   
   

6. Pour l'onde 2 : c'est une onde plane sous incidence normale qui s'est propagée sur une distance $2d$ depuis le point $O_1$, et qui s'est réfléchie sur la séparatrice $S$, donc $\psi_2=\psi_0 r \, e^{2ikd}\; = \; -\psi_0 t \, e^{2ikd}$

7. Intensité $$I=\vert\psi_0\vert^2 r^2 \, \left[A+ B \cos\left(\frac{\pi \rho^2}{\lambda (2d-F)} \right) \right]$$ avec $$A=1+ \left(\frac{F}{2d-F}\right)^2$$ et $$B=-\frac{2 F}{2d-F}$$.

8. L'intensité dépend de $\rho$ : ce sont donc des anneaux, centrés à l'origine. L'intensité est maximale au centre car $B>0$. Ces anneaux sont de plus en plus serrés quand $\rho$ augmente (dépendance de type $\cos(K \rho^2)$. L'allure du graphe $I(x,0)$ pour $y=0$ est la suivante

   

9. Pour calculer le contraste $C$, le plus simple est de mettre l'intensité sous la forme $I=C^{te}\, (1+C \cos(\phi))$. Il vient $C=B/A$

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