L3 Physique -- Examen partiel d'optique

24 Février 2016

Durée 1h30. Document autorisé : formulaire de TF, autres documents interdits. Calculette autorisée, téléphone interdit

1. Questions de cours

  1. Un laser éclaire uniformément un trou carré de côté $a$=0.1 mm. La puissance lumineuse totale qui traverse le trou est de 0.1 mW. Quelle est l'intensité lumineuse de l'onde en sortie du trou ?

  2. Rappeler la relation qui lie la focale d'une lentille plan-convexe à son indice de réfraction et son rayon de courbure. Une lentille plan-convexe est taillée dans un matériau d'indice $n$ qui dépend de la longueur d'onde : $n=A+B/\lambda^2$ avec $A=1.5$, $B=4.10^{-3}\mu$m$^2$. La focale est $F_1=1$m pour la longueur d'onde $\lambda_1=0.8\mu$m. Quelle est la focale $F_2$ pour la longueur d'onde $\lambda_2=0.4\mu$m ?

  3. L'image ci-dessous montre l'intensité diffractée par une fente, dans l'approximation de Fraunhofer (champ lointain). La longueur d'onde est $\lambda=600$ nm, la distance entre la fente et le plan d'observation est $z=2$m. Le lobe central de la figure de diffraction a une taille de 24 mm. Quelle est la largeur de la fente ?

    \includegraphics{difslit.eps}

2. Interféromètre de Mach-Zehnder

\includegraphics{maczend.eps}

Le schéma-ci-dessus est un interféromètre de Mach-Zehnder. L'onde incidente (au point $O$) est plane et se propage parallèllement à la direction $\hat z$. Elle a une amplitude $\psi_0$ et une longueur d'onde $\lambda$. Une lame semi-réfléchissante $S_1$ la sépare en deux ondes (1 et 2). L'onde 1 éclaire un miroir $M_1$ totalement réfléchissant puis se réfléchit sur une seconde lame semi-réfléchissante $S_2$ identique à $S_1$. L'onde 2 éclaire un miroir $M_2$ totalement réfléchissant puis traverse la lame $S_2$. Entre $M_2$ et $S_2$ on intercale une lame à faces parallèles $P$ d'indice de réfraction $n$, et d'épaisseur constante $e=e_0+\delta e$, avec $e_0$ parfaitement connu, et $\delta e$ une quantité faible (inférieure à $\lambda$) inconnue. On observe l'interférence des deux ondes sur l'écran $(E)$. On note $r$ et $t$ les coefficients de transmission (en amplitude) des lames $S_1$ et $S_2$. On appelle $d$ la distance $OS_1=S_1 M_1=M_1S_2=S_1 M_2=M_2 S_2=S_2 O'$.

  1. Remplacer ce problème par un schéma équivalent plus simple, pour l'onde 1 et pour l'onde 2.
  2. On enlève la lame $P$ :
    1. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde 1 sur l'écran $(E)$. Faites de même pour l'onde 2
    2. Calculer l'intensité $I$ sur l'écran, et décrire l'image observée.
  3. On replace maintenant la lame. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde 2 sur l'écran $(E)$.
  4. Calculer la nouvelle intensité $I'$ sur l'écran $(E)$.
  5. A partir des intensités en présence et en l'absence de la lame, proposer une méthode pour mesurer $\delta e$ (on fera l'hypothèse que la quantité $(n-1) e_0$ est un multiple de $\lambda$).

3. Interférences

Pour tout l'exercice on se place dans l'approximation paraxiale.
Questions préliminaires :
  1. Une lentille divergente de focale $F<0$, placée dans le plan $z=0$, est éclairée sous incidence normale par une onde plane d'amplitude $\psi_0$ et de longueur d'onde $\lambda$, se propageant vers les $z>0$. Ecrire l'amplitude complexe $f_0(x,y)$ de l'onde dans le plan $z=0^+$ en sortie de la lentille
  2. De quel type d'onde s'agit-il, et pourquoi ?
  3. Donner la position de la source de cette onde.
  4. En déduire l'amplitude complexe $f_z(x,y)$ de l'onde dans un plan $z>0$ quelconque. Faire apparaitre la constante $\psi_0$ dans l'expression de $f_z(x,y)$.

    5. \includegraphics{interf.eps}
    On fait interférer l'onde en sortie de la lentille avec une onde plane. Pour celà, on réalise le montage ci-dessus. l'onde 1 provenant de la lentille traverse une lame séparatrice $S$. Une seconde onde (onde 2 sur le schéma), plane, a une amplitude $\psi_0$ au point $O_1$. Elle se réfléchit sur la séparatrice $S$, puis se propage parallèllement à l'axe $O O'$ jusqu'à l'écran $(E)$. On appelle $d$ la distance $OS=O_1 S=SO'$. Les coefficients de transmission (en amplitude) $t$ et de réflexion $r$ de la séparatrice $S$ sont supposés réels, avec $t>0$ et $r=-t$.
  5. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde 1 sur l'écran $(E)$ (utiliser le résultat de la question 4)
  6. Même question pour l'onde 2
    7. Questions bonus hors-barème :
  7. Calculer l'intensité sur l'écran $(E)$
  8. Tracer le graphe de l'intensité et décrire l'image observée : voit-on une teinte plate, des franges, des anneaux, des pics, ou autre chose ?
  9. Calculer le contraste de l'intensité.

Voir la solution