L3 Physique -- Examen d'optique 2e session

Durée 3 h


Date: Documents autorisés : formulaire de TF + 1 feuille A4 manuscrite recto-verso

Réseau et filtrage

Diffraction par un réseau de fentes

Une source ponctuelle monochromatique (amplitude $ \psi_0$ , longueur d'onde $ \lambda$ ) se trouve au point de coordonnées $ (0,0,-2 F)$ . Dans le plan $ z=-F$ se trouve une lentille convergente de focale $ F$ et de dimensions transversales supposées infinies. Dans le plan $ z=0$ on place un réseau de fentes très fines (leur largeur est assimilée à 0), de période $ a$ dans la direction $ \hat x$ et invariant par translation dans la direction $ \hat y$ . Le réseau est lui aussi de dimensions infinies. L'ensemble est schématisé ci-dessous.
\includegraphics{rezo.eps}
  1. Quelle est la nature de l'onde dans la région $ -2F<z<-F$ ?
  2. Ecrire, sans faire l'approximation paraxiale, l'amplitude complexe de l'onde dans cette région.
  3. Réécrire cette amplitude complexe dans l'approximation paraxiale.
Dans toute la suite du problème on se place dans les conditions paraxiales.
  1. (Question indépendante) Rappeler en quoi consiste cette approximation
  2. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde en $ z=-F$ juste avant la traversée de la lentille
  3. Ecrire le coefficient de transmission de la lentille
  4. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde en $ z=-F$ juste après la lentille
  5. Quelle est la nature de cette onde ?
  6. Ecrire l'amplitude complexe en $ z=0$ juste avant la traversée du réseau
  7. Ecrire l'intensité $ I(\alpha,\beta)$ diffractée à l'infini par le réseau dans une direction $ (\alpha,\beta)$ .
  8. (Question indépendante) Rappeler ce qu'on appelle ordre de diffraction d'un réseau.
  9. Dans quelle direction $ (\alpha_p,\beta_p)$ se trouve l'ordre $ p$  ?
  10. Reprendre les questions 2,3,5,7,9,10,12 dans le cas où la source est déplacée au point $ (x_0, y_0, -2F)$ .

Filtrage

On complète le montage précédent par une lentille convergente de focale $ F_2$ située dans le plan $ z=F_2$ . La source est à nouveau en $ (0,0,-2 F)$ . On place un écran d'observation dans le plan $ z=2 F_2$ (plan focal image de la deuxième lentille). On est toujours dans l'approximation paraxiale. Le nouveau montage est celui de la figure ci-dessous.
\includegraphics{rezofilt.eps}
  1. (Question indépendante) Pourquoi dit-on que ce montage est à double diffraction ?
  2. Calculer l'intensité dans le plan $ z=2 F_2$
  3. En quel point $ (x_p,y_p)$ se trouve l'ordre $ p$ dans le plan $ z=2 F_2$ ?
  4. On limite le réseau par un diaphragme circulaire de diamètre $ D\gg a$ .
    1. Ecrire le nouveau coefficient de transmission du réseau.
    2. Ecrire l'amplitude complexe dans le plan $ z=2 F_2$
    3. En déduire l'intensité correspondante (on utilisera l'hypothèse $ D\gg a$ )
    4. Quelle est la largeur de la tache correspondant à l'ordre $ p$ (on précisera la définition choisie pour la largeur) ?
    5. Qu'appelle-t-on pouvoir de résolution du réseau ? Que vaut-il dans l'ordre $ p$  ?
La source est maintenant bichromatique. Elle émet de la lumière en quantité égale à deux longueurs d'onde $ \lambda_1$ et $ \lambda_2$ . On pose $ \lambda_0=\frac{\lambda_1+\lambda_2}2$ et $ \delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1$ avec $ \delta\lambda\ll\lambda_0$ .
  1. Le réseau est de dimensions infinies. Ecrire l'intensité lumineuse dans le plan $ z=2 F_2$ .
  2. Représenter schématiquement le graphe de l'intensité $ I(x,y=0)$ .
  3. Montrer que l'ordre $ p$ est dédoublé en deux pics et préciser la distance entre les deux pics.
  4. On limite à nouveau le réseau par le diaphragme circulaire de diamètre $ D$ .
    1. Ecrire l'intensité dans le plan $ z=2 F_2$
    2. Montrer que chaque ordre $ p$ est constitué de deux taches.
    3. A quelle condition sur $ D$ a-t-on une superposition de ces deux taches ?
    4. (Question indépendante) Qu'est-ce que le critère de Rayleigh ?
    5. On suppose ce critère réalisé dans l'ordre $ p$ . Qu'observe-t-on alors dans les ordres $ p-1$ et $ p+1$ (faites un dessin)

Propagation dans un conducteur soumis à un champ magnétique constant

On s'intéresse à la propagation d'une onde plane monochromatique dans un milieu neutre linéaire et homogène. Les champs électrique et magnétique ont une dépendance spatio-temporelle de la forme $ \exp i (\vec k . \vec r-\omega t)$ . Le milieu est caractérisé par les relations constitutives suivantes
$\displaystyle \vec D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \epsilon_0 \vec E$  
$\displaystyle \vec B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mu_0 \vec H$  
$\displaystyle \vec j$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [\sigma]\; \vec E$  

avec $ [\sigma]=\left(\begin{array}{ccc} -i\sigma_1& \alpha &0 \\ -\alpha& -i\sigma_1 &0\\ 0 &0 &i\sigma_2 \end{array}\right)$ le tenseur de conductivité (matrice d'ordre 2), avec $ \sigma_2>0$ et $ \sigma_1>\alpha>0$ . La forme particulière de $ [\sigma]$ est dûe à la présence d'un champ magnétique uniforme dirigé suivant $ \hat z$ .
  1. (Question indépendante) Pourquoi ce milieu est-il anisotrope ?
  2. Projeter le vecteur densité de courant $ \vec j$ pour obtenir les trois composantes $ (j_x,j_y,j_z)$ en fonction des trois composantes de $ \vec E$
  3. Ecrire les équations de Maxwell dans ce milieu
  4. (Question indépendante) Rappeler comment s'écrivent les opérateurs divergence et rotationnel pour une une onde plane de dépendance $ \exp i (\vec k . \vec r-\omega t)$ .
  5. Etablir la relation : (en cas de difficulté on pourra passer à la suite sans traiter cette question)
    $\displaystyle k^2 \vec E-(\vec k.\vec E) \vec k=\frac{\omega^2}{c^2}\vec E+i\omega\mu_0 [\sigma]\; \vec E$ (1)

    (on rappelle la formule du double produit vectoriel : $ \vec a \wedge(\vec b\wedge \vec c)=\vec b (\vec a .\vec c) - \vec c (\vec a . \vec b)$ .
Le milieu est considéré infini dans les directions $ \hat x$ et $ \hat y$ , et limité dans la tranche $ 0\le z \le L$ . On considère dans la suite que $ \vec k$ est paralèle à $ \hat z$ et que $ \vec E$ est transverse ($ E_z=0$ ).
  1. Projeter la relation (1) pour obtenir deux relations entre $ E_x$ et $ E_y$
  2. En déduire la relation de dispersion $ k(\omega)$ du milieu
  3. (Question indépendante) Pourquoi la relation $ k(\omega)$ est-elle appelée ``relation de dispersion'' ?
  4. (Question indépendante) quels sont les vecteurs de Jones associés à une polarisation linéaire ? circulaire ?
  5. Déduire de la question 6 les états de polarisation des ondes pouvant se propager dans le milieu
  6. On se place dans le cas où $ \omega \gg \sigma_1/\epsilon_0$ . Quelle est la vitesse de phase des ondes qui se propagent ?
  7. En $ z=0$ le champ électrique s'écrit $ \vec E=E_i \vec x$ .
    1. Ecrire ce champ sous forme d'un vecteur de Jones
    2. En $ z=0$ le champ transmis dans le matériau est noté $ \vec E_t=t \vec E_i$ , avec $ t=t_G$ pour une onde circulaire gauche et $ t=t_D$ pour une onde circulaire droite. Ecrire le champ transmis en $ z=0$
    3. Quel est l'état de polarisation de l'onde transmise en $ z=0$ ?
    4. Ecrire le champ transmis en $ z=L$ (sous forme de vecteurs de Jones)
    5. (Question indépendante) Rappeler ce qu'est un milieu optiquement actif
    6. Peut-on dire que c'est le cas ici et pourquoi ?

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