Correction de l'examen d'optique

Session de Juin 2000

Pérot-Fabry éclairé par une onde plane

1.
L'onde se sépare en deux à la traversée de chaque face. L'onde incidente donne naissance à : On a bien à la sortie du PF un ensemble d'ondes planes. Elles se propagent avec la même incidence $\alpha$ (lois de Descartes pour une lame à faces parallèles) et interfèrent entre elles car elles sont produites par division d'amplitude de l'onde incidente (voir le chapitre ``interféromètres à division d'amplitude'').

2.
Entre les ondes p et p+1 il y a deux réflexions et le déphasage $\phi$. On peut écrire, si $\psi_p$ désigne l'amplitude complexe de l'onde p :

\begin{displaymath}\psi_{p+1}=R^2 \; e^{i \phi} \; \psi_p \end{displaymath}

d'où $K_1=\left\vert\frac{\psi_{p+1}}{\psi_p} \right\vert^2=R^4$. Et K100=R400. Donc $K_{100}\ge 0.1$ si $R\ge 0.99426$.

3.
Soit $\Psi_0(x)$ l'amplitude complexe de l'onde incidente sur le PF.

\begin{displaymath}\Psi_0(x)=\psi_0 \; \exp \frac{2 i \pi x \sin \alpha}{\lambda} \end{displaymath}

l'onde directement transmise s'écrit à la sortie du PF :

\begin{displaymath}\psi_1(x)=T^2 \, \Psi_0(x) \end{displaymath}

L'onde ``suivante'' (après deux réflexions) va s'écrire

\begin{displaymath}\psi_2(x)=R^2 T^2 \, \Psi_0(x) \, e^{i\phi} \end{displaymath}

et l'amplitude complexe à la sortie est la somme des amplitudes complexes de toutes les ondes élémentaires :

\begin{displaymath}\Psi(x)=\Psi_0(x)\; T^2 \; \sum R^{2p} e^{i p \phi} \end{displaymath}

C'est une série géométrique de raison $q=R^2 e^{i\phi}$.

Si R=1 alors $\Psi(x)=\Psi_0(x)\; T^2 \; \sum e^{i p \phi}$. L'application de la formule sommatoire de Poisson donne un peigne de Dirac

\begin{displaymath}\Psi(x)=\Psi_0(x)\; 2\pi T^2 \; \sum \delta(\phi-2p\pi) \end{displaymath}

4.
L'amplitude est non nulle quand $\phi=\phi_p=2 p\pi$. Les relations $\phi=\frac{4\pi}{\lambda} n l \cos\theta$ et $\sin\alpha=n \sin \theta$ permettent d'écrire :

\begin{displaymath}\sin^2 \alpha_p=n^2-\frac{p^2 \lambda^2}{4 l^2} \end{displaymath}

l'ordre d'interférence est le nombre m de longueurs d'onde que l'on peut ``caser'' dans la différence de chemin optique $\delta$ entre les ondes p et p+1 ( $m=E[\delta/\lambda]$). Avec $\phi=2\pi\delta/\lambda$ on trouve que l'ordre d'interférence est le nombre p.

5.
La condition $0\le \sin^2 \alpha_p \le 1$ donne un encadrement des nombres p possibles :

\begin{displaymath}\frac{2 l}{\lambda} \sqrt{n^2-1}\le p \le \frac{2 n l}{\lambda} \end{displaymath}

soit avec les valeurs numériques proposées : $p\in [448,600]$

Pour être en optique paraxiale, on considère $\sin\alpha_p\simeq \alpha_p < 0.3$, ce qui donne $p\ge 588$.

6.
Dans l'approximation paraxiale :

\begin{displaymath}\alpha_p=\sqrt{n^2-\frac{p^2 \lambda^2}{4 l^2}} \end{displaymath}

En utilisant la relation $\phi=\frac{4\pi}{\lambda} n l \cos\theta$ et en faisant les approximations $\sin\alpha=\alpha$ et $\cos\theta=1-\theta^2/2=1-\frac{\alpha^2}{2n^2}$, on peut écrire

\begin{displaymath}\phi-\phi_p\simeq \frac{\pi l}{\lambda n} (\alpha_p^2-\alpha^2) \end{displaymath}

et comme $\delta(\alpha^2-\alpha_p^2)=\delta(\alpha-\alpha_p)/(2\alpha_p)$, l'amplitude à la sortie du PF s'écrit :

\begin{displaymath}\Psi(x)=\Psi_0(x)\; \frac{\lambda n T^2}{l} \; \sum \frac{1}{\alpha_p} \delta(\alpha-\alpha_p) \end{displaymath}

D'où le coefficient de transmission du PF

\begin{displaymath}\tau(\alpha)=\frac{\lambda n T^2}{l} \; \sum \frac{1}{\alpha_p} \delta(\alpha-\alpha_p) \end{displaymath}


Montage à double diffraction

1.
Dans le plan P0 l'onde s'écrit $f_0(x,y)=A\, t(x)\, \delta(y)$. Dans le plan P1, les résultats d'un paragraphe sur le filtrage permettent d'écrire l'amplitude complexe

\begin{displaymath}f_1(x,y)=\frac{1}{i\lambda f} e^{2 i k f} \; \hat{f}_0\left(\frac{x}{\lambda f},\frac{y}{\lambda f}\right) \end{displaymath}

il vient

\begin{displaymath}f_1(x,y)=-i A e^{2 i k f} \; \hat{t}\left(\frac{x}{\lambda f}\right) \end{displaymath}

Ce qui s'écrit

\begin{displaymath}f_1(x,y)=-i A e^{2 i k f} \; \int_{-\infty}^\infty t(X) \, \exp -2 i \pi x \frac{X}{\lambda f} \; dX \end{displaymath}

ou encore en posant $\alpha=\frac{X}{f}$

\begin{displaymath}f_1(x,y)=-i A f e^{2 i k f} \; \int t(\alpha f) \, \exp -2 i \pi \frac{\alpha x}{\lambda} \; d\alpha \end{displaymath}

ce qui est bien l'expression d'une somme continue d'ondes planes dans un plan z=Cte, se propageant dans des directions $\alpha$ et pondérées par un terme d'amplitude $t(\alpha f)$.

2.
Dans le plan P2 l'amplitude s'écrit

\begin{displaymath}f_2(x,y)=\frac{1}{i\lambda f} e^{2 i k f} \; \hat{f}_1\left(\frac{x}{\lambda f},\frac{y}{\lambda f}\right) \end{displaymath}

ce qui donne

\begin{displaymath}f_2(x,y)=-A e^{4 i k f} \; t(-x) \; \delta(y) \end{displaymath}

c'est à dire une amplitude proportionnelle à celle de l'objet dans le plan P0, mais renversée de 180$^\circ$ (signe - dans t(-x)).

3.
Amplitude en P0 : $A\delta(y)$. Si c'était $A\delta(x)\delta(y)$ (point source) l'onde serait sphérique. Elle est ici cylindrique (invariance par translation //y).

4.
Le PF est placé dans le plan P1. On suppose toujours que t(x)=1. Le PF est alors éclairé par une onde d'amplitude complexe

\begin{displaymath}f_1(x,y)=-i A f e^{2 i k f} \; \int \exp -2 i \pi \frac{\alpha x}{\lambda} \; d\alpha \end{displaymath}

A la sortie du PF, l'amplitude complexe de l'onde devient $g_1(x,y)=\tau(\alpha)\, f_1(x,y)$. Ce qui donne après un peu d'algèbre

\begin{displaymath}g_1(x,y)=-\frac{i A f \lambda n T^2}{l} \; e^{2 i k f} \; \sum \frac{1}{\alpha_p} \exp -2 i \pi \frac{\alpha_p x}{\lambda} \end{displaymath}

C'est bien une somme discrète d'ondes planes, écrite dans un plan z=Cte.
5.
Dans le plan P2 l'amplitude complexe s'écrit

\begin{displaymath}g_2(x,y)=\frac{1}{i\lambda f} e^{2 i k f} \; \hat{g}_1\left(\frac{x}{\lambda f},\frac{y}{\lambda f}\right) \end{displaymath}

on obtient

\begin{displaymath}g_2(x,y)=-\frac{ A f \lambda^2 f^2 n T^2}{l} \; e^{4 i k f} \; \delta(y) \; \sum \frac{1}{\alpha_p} \delta(x+\alpha_p f) \end{displaymath}

C'est une suite de points (Diracs) placés en $x=-\alpha_p f$ dont l'amplitude varie comme l'inverse de l'angle $\alpha_p$. Le PF a sélectionné des directions de propagation $\alpha_p$ dans le plan P1, les ondes planes correspondantes donnent des points au foyer de la lentille L2.
6.
Avec t(x) quelconque, le résultat est

\begin{displaymath}g_2(x,y)=-\frac{ A f \lambda^2 f^2 n T^2}{l} \; e^{4 i k f} \... ...x)\; \delta(y) \; \sum \frac{1}{\alpha_p} \delta(x+\alpha_p f) \end{displaymath}

C'est à dire quelque chose de proportionnel à l'amplitude de l'objet dans le plan P0, toujours retournée de 180$^\circ$, mais cette fois multipliée par une somme de Diracs dont l'amplitude décroit avec $\alpha_p$ : on a réalisé un échantillonnage de l'objet t(-x) avec un pas d'échantillonnage $\alpha_p f$.

7.
Dans le cas où t(x,y) est un diaphragme circulaire, la symétrie de révolution autour de l'axe z transforme les pics de Dirac de l'image précédente en cercles concentriques : on observe un système d'anneaux brillants de rayons $\alpha_p f$.