Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Session de Juin 2000

Partie II -- Optique

Dans cet exercice nous allons placer un Pérot-Fabry dans le plan de filtrage d'un montage à double diffraction. Quelle est l'influence de ce Pérot-Fabry sur l'image ? C'est la question à laquelle vous allez essayer de répondre. Bonne chance !

Pérot-Fabry éclairé par une onde plane

Un Pérot-Fabry (noté PF dans la suite) est constitué de 2 lames semi-réfléchissantes identiques et parallèles emprisonnant un milieu d'indice n. La distance entre les deux lames est notée l, le coefficient de transmission en amplitude de chaque face est noté T et le coefficient de réflexion est noté R (R voisin de 1). Ce PF est éclairé sous incidence oblique $\alpha$ par une onde plane monochromatique cohérente de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ .

1.: Expliquer pourquoi l'on observe à la sortie du PF une infinité d'ondes planes. Dans quelles directions se propagent-elles ? Ces ondes interfèrent-elles entre elles ? On rappelle (cf. TP) que le déphasage $\phi$ entre deux ondes successives (numérotées p et p+1) à la sortie du PF vaut $\phi=\frac{4\pi}{\lambda} n l \cos\theta$ , $\theta$ étant l'angle réfracté sur la face d'entrée ( $\sin\alpha=n \sin \theta$ ).
2.: (Question facultative) Quel est le rapport des intensités K₁ entre les ondes p et p+1 ? Quelle valeur minimale doit avoir R pour que le rapport d'intensité K₁₀₀ entre les ondes p et p+100 soit supérieur à 10 % ?
3.: Ecrire sous forme d'une série géométrique l'amplitude à la sortie du PF en fonction de la variable $\phi$ . Dans le cas où $R\longrightarrow 1$ montrer qu'elle tend vers un peigne de Dirac. Dans la suite on supposera R=1.
4.: Quelles sont les valeurs de $\phi$ pour lesquelles l'amplitude sortante n'est pas nulle ? En déduire les valeurs d'incidence $\alpha_p$ pour lesquelles la lumière est transmise par le PF. A quels ordres d'interférence correspondent-elles ?
5.: (Question facultative) Quel est l'ordre d'interférence maximal observable ? Pour quels ordres d'interférence est-on en optique paraxiale (on considèrera qu'on est en optique paraxiale si $\alpha_p < 0.3$ ) ? A.N.: l=0.1 mm, $\lambda=0.5 \mu$ m, n=1.5.
6.: Ecrire $\alpha_p$ dans l'approximation paraxiale. Calculer, en fonction de l'incidence $\alpha$ et de $\alpha_p$ , le coefficient de transmission $\tau(\alpha)$ du PF (rapport des amplitudes sortante et entrante). On rappelle que $\delta\left(f(x)\right)=\frac{1}{\vert f'(x_0)\vert} \; \delta(x-x_0)$ pour une fonction f s'annulant en x₀.

Montage à double diffraction

Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes de l'exercice précédent.

On considère le montage à deux lentilles de la figure ci-dessous. Les deux lentilles sont identiques, de focales f. La distance qui les sépare est 2f(foyers conjugués). Un objet de coefficient de transmission $t(x)\,\delta(y)$ (infiniment fin dans la direction y) est placé dans le plan P₀ à une distance f en amont de la première lentille, il est éclairé sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude A dans le plan P₀. On se place dans l'approximation paraxiale.

1.: Ecrire l'amplitude complexe dans le plan P₁. Montrer que cette amplitude complexe est une somme d'ondes planes se propageant dans toutes les directions du plan (xz). Quelles sont les amplitudes associées à ces ondes planes ?
2.: Ecrire l'amplitude complexe dans le plan P₂, plan focal image de la seconde lentille. Comparer les amplitudes dans les plans P₀ et P₂.
3.: On suppose que t(x)=1. Quelle est alors la nature de l'onde entre les plans de l'objet et de la première lentille (aucun calcul n'est demandé) ?
4.: On place le PF de l'exercice précédent dans le plan P₁. En introduisant le coefficient de transmission $\tau(\alpha)$ du PF, écrivez l'amplitude complexe à la sortie du PF (le plus commode est d'écrire ces amplitudes complexes comme des sommes d'ondes planes). Montrez que c'est une somme discrète d'ondes planes.
5.: Ecrire l'amplitude complexe dans le plan P₂. Décrire la figure observée. Faire un dessin détaillé.
6.: Même question pour t(x) quelconque. Montrez que la présence du PF dans le plan de filtrage permet de réaliser un échantillonage de l'objet. Quel est le pas d'échantillonnage ?
7.: Dans le cas où t(x,y) est un diaphragme circulaire placé dans le plan P₀, expliquez sans calcul l'observation de cercles concentriques brillants dans l'image en P₂. Quels sont les rayons de ces cercles ?

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