Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Session de Juin 2001

Partie II -- Optique


 

Dans tout le problème, on suppose réalisées les conditions de Gauss (petits angles). Ca parait long mais il y a très peu de calculs ; soignez la rédaction et la clarté des explications, ne négligez pas de vérifier que vos résultats sont homogènes, n'hésitez pas à faire des schémas...

1. Une lentille éclairée par une onde plane

$\textstyle \parbox{9cm}{Une lentille convergente de diam\\lq etre $a$\ et de foc......$\ o\\lq u $\hat k$\ est un vecteur unitaire de composantes $(\alpha, 0, 1)$.\\}$\epsfbox {1lent.eps}
  1. Faire un dessin de l'intensité au foyer de la lentille (le calcul n'est pas demandé)
  2. Donner la position $(X_c,Y_c)$ du centre de la tache observée au foyer .
  3. Quelle est la taille de cette tache ? (A.N. : $\lambda$=500 nm, $f$=5 cm, $a$=25 mm)
  4. Quelle est la pente $\beta$ que fait le front d'onde avec le plan $x0y$ ? Si cette pente varie d'une petite quantité d$\beta$, de quelle valeur d$X$ se déplace la tache au foyer de la lentille ?
  5. On suppose que le plus petit déplacement mesurable de $X$ est d'un dixième de la taille de la tache focale ; quelle est alors la plus petite variation de la pente du front d'onde d$\beta$ que l'on peut mesurer ? (A.N.: mêmes valeurs que la question précédente).

2. La lentille est éclairée par une onde non plane

Une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ se propageant dans la direction $\hat z$ éclaire une lame d'épaisseur fixe $e$ qui possède un indice variable $n(x)$. Juste après la traversée de la lame, l'onde arrive sur la lentille de la question précédente.
  1. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde à la sortie de la lame.
  2. Quelle est la nature de l'onde dans les cas suivants : $n(x)$ constant ; $n(x)$ linéraire ; $n(x)$ quadratique ; $n(x,y)$ quadratique en $x$ et $y$
  3. $n(x)$ est cette fois quelconque mais lentement variable devant le diamètre de la lentille (en d'autres termes : sur la lentille, $n(x)$ s'identifie à son développement au premier ordre autour du centre de la lentille). Quelle est la pente locale $\beta(x_c)$ du front d'onde au centre de la lentille ? Relier cette pente locale à la position de la tache image au foyer de la lentille.
  4. Sachant que la mesure de la position de la tache focale se fait avec une précision d'un dixième de la taille de la tache, quelle est la plus petite valeur de $\beta(x_c)$ mesurable ? Quelle est donc la plus petite valeur mesurable de la dérivée de l'indice en $x_c$ ? (A.N. mêmes valeurs avec $e$=1 mm).

3. Analyseur de front d'onde de Shack-Hartmann

$\textstyle \parbox{9cm}{On remplace la lentille des questions pr\'ec\'edentes ......mage produite par chaque lentille au plan focal $z=f$.\\ \ \\\end{enumerate}}$\epsfbox{nlent.eps}
  1. Même question si l'onde incidente est sous incidence oblique ($\hat k$ de composantes $(\alpha, 0, 1)$).
  2. L'incidence est à nouveau normale, mais on insère juste avant le réseau de lentilles la lame d'indice variable $n(x)$ de la question précédente. Ecrire la position $(X_n,Y_n)$ de la tache focale de la lentille numéro $n$ en fonction de la pente locale $\beta(x_n)$ du front d'onde au centre de la lentille.
  3. A partir de la mesure de la pente du front d'onde au centre de chaque lentille, et en supposant que $n(x)$ est une fonction continue, montrer graphiquement comment on peut obtenir grossièrement, et à une constante près, la forme du front d'onde à l'entrée du réseau de lentilles
Ce système de mesure des pentes locales du front d'onde à réseau de micro-lentilles est appelé ``analyseur de front d'onde de Shack-Hartmann''. Il est utilisé dans les grands télescopes équipés d'optique adaptative (par exemple les 4 télescopes du VLT au Chili) pour corriger les déformations de front d'onde induites par la turbulence atmosphérique.
Voir la solution