Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Session de Juin 2004

Optique

Merci de rédiger les examens d'optique et d'electromagnétisme sur des copies séparées.

Cohérence temporelle

Soit le montage optique de la figure ci-après. Il est composé d'une lame séparatrice qui divise le faisceau de lumière incidente en deux parties égales. L'une de ces parties éclaire un écran $E$. L'autre partie est renvoyée vers un miroir plan incliné de l'angle $\theta$ indiqué sur la figure avant de venir à son tour éclairer l'écran $E$ ($\theta$ n'est pas forcément un petit angle). On appelle $C$ le centre de la séparatrice, $D$ le centre du miroir plan et $B$ le centre de l'écran $E$. On pourra noter $\psi_0$ l'amplitude de l'onde incidente.

\includegraphics{schema.eps}

Les distances sont $CB=d$, $CD=d_1$ et $DB=d_2$.

  1. L'éclairage est monochromatique et sous incidence normale (vecteur d'onde parallèle à la droite $CB$).
    1. Ecrire l'intensité des franges d'interférences dans le plan $E$. On pourra s'aider d'un schéma équivalent pour la propagation de l'onde 2.
    2. Quel est le contraste des franges et l'interfrange ?
    3. Montrer que la figure d'interférences est affectée d'un décalage d'origine $x_c$. Que vaut $x_c$ ?
  2. Le spectre de la lumière est celui de la lumière blanche, modélisé par une gaussienne de largeur $\Delta\nu$ centrée sur $\nu_0$ Ce spectre s'écrit

    \begin{displaymath} F(\nu)=K \exp\left(-\pi \frac{(\nu-\nu_0)^2}{(\Delta\nu)^2}\right) \end{displaymath}

    1. A partir du résultat de la quetsion 1, écrire l'intensité des franges dans le plan $E$
    2. Ecrire et représenter la fonction $C(x)$ donnant le contraste des franges en un point de l'écran $E$.
    3. Représenter l'intensité des franges pour $\nu_0/\Delta\nu\simeq 10$.

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Réseau et filtrage

Une grille bidimensionnelle de points a pour coefficient de transmission $\zeta \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{x}{a}\right)\left(\frac{y}{a}\right)$ avec $\zeta$ et $a$ des constantes réelles positives et $\Pi\!\!\!\Pi $ désigne le peigne de Dirac. Cette grille est limitée spatialement par un diaphragme carré de coté $L\simeq 100 a$. L'ensemble est appelé ``masque'' dans la suite.

  1. Quelle est la dimension de $\zeta$ (argumentez) ?
  2. Quel est le pouvoir de résolution de ce réseau dans l'ordre $p$ si la longueur d'onde est $\lambda$ ? A quel(s) ordre(s) peut-on résoudre le doublet du Sodium (longueurs d'ondes 5890 et 5896 Å) ?
  3. Le masque est placé dans le plan focal objet d'une lentille convergente de focale $f$. On éclaire en lumière monochromatique (onde plane) sous incidence normale. Décrire l'image dans le plan focal image de la lentille et faire un dessin annoté ($\lambda=500$ nm, $f$=20 cm, $a=10\mu$m).
  4. Même question mais l'éclairage se fait avec deux longueurs d'onde (celles du doublet du Sodium). Il ne sera pas nécessaire d'écrire explicitement l'intensité. Un raisonnement qualitatif à partir du résultat de la question précédente suffit.
  5. (Question indépendante de la précédente) On revient à l'éclairage monochromatique ($\lambda=500$ nm). On place au centre du plan focal image de la lentille un diaphragme circulaire de rayon 2 mm. Une seconde lentille identique à la première permet d'observer l'objet filtré par ce trou. Dessiner le montage optique qui permet cette observation. Calculer l'intensité de l'objet filtré (on fera les approximations correspondant aux valeurs numériques en jeu dans le problème).



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