L3 Physique -- Correction du premier partiel d'optique

5 Mars 2014

Questions de cours

1. Un coefficient de transmission est sans dimension
2. Coefficient de transmission : $t(x,y)=\Pi\left(\frac x\epsilon\right)\: \Pi\left(\frac y\epsilon\right)$
3. Quand $\epsilon\longrightarrow 0$ on a $t(x,y)\longrightarrow \epsilon^2 \delta(x,y)$
4. Amplitude diffractée à l'infini, à une distance $z$ du trou : $f_\infty(x,y)=A \epsilon^2\: \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}$. L'intensité est uniforme $I=\displaystyle \vert A\vert^2 \frac{\epsilon^4}{\lambda^2 z^2}$. On vérifie que $I$ a la dimension d'une intensité ($A$ est une amplitude complexe donc $\vert A\vert^2$ est une intensité).

Couche anti-reflets

1. L'onde 1 a subi une réflexion sur le dioptre air-couche. D'où $\psi_1=r_1 \psi_0$ avec $$r_1=\frac{1-n'}{1+n'}$$
2. L'onde 2 a subi une réflexion sur le dioptre couche-verre, et une propagation horizontale sur une distance $2e$ dans un milieu d'indice $n'$. On a donc $\psi_2=r_2 \psi_0\: e^{2iken'}$ avec $$r_2=\frac{n'-n}{n'+n}$$ et $k=\frac{2\pi}{\lambda}$
3. On a $$\frac{\psi_2}{\psi_1}=\frac{r_2}{r_1} e^{2iken'}$$. Comme $r_1$ et $r_2$ sont tous deux négatifs, le rapport $\frac{\psi_2}{\psi_1}$ sera réel négatif si $$e^{2iken'}=-1$$. C'est à dire $$e=\frac{p \lambda}{4 n'}$$ avec $p$ entier impair.
4. En supposant $$e^{2iken'}=-1$$, on a $\psi_1+\psi_2=\psi_0 (r_1-r_2)$. Cette somme est nulle si $r_1=r_2$, ce qui donne, après calcul, $n'=\sqrt{n}$.

Lentille éclairée par une source ponctuelle

1. Coefficient de transmission de la lentille : $t(x,y)=\exp\left(-\frac{i\pi \rho^2}{\lambda F}\right)$ avec $\rho^2=x^2+y^2$
2. Amplitude complexe de l'onde sphérique (dans l'approximation paraxiale) en $z=p^-$ avant traversée de la lentille :
   
   $$f_{p-}(x,y)=\frac{\psi_0}{p} \: e^{ikp}\: \exp\left(\frac{i\pi \rho^2}{\lambda p}\right)$$
   
   
   et en sortie de la lentille ($z=p^+$) avec $p=F$
   
   $$f_{p+}(x,y)=\frac{\psi_0}{F} \: e^{ikF}$$
   
   
   L'amplitude est constante dans le plan $z=p^+$ : on a affaire à une onde plane se propageant parallèlement à $\hat z$
3. On suppose $p=F$ et $x_0>0$.
   1. Approximation paraxiale quand $p\gg (x_0^4/\lambda)^{1/3}$
   2. Amplitude complexe en $z=p^-$ avant traversée de la lentille :
      
      $$f_{p-}(x,y)=\frac{\psi_0}{p} \: e^{ikp}\: \exp\left(\frac{i\pi [(x-x_0)^2+y^2]}{\lambda p}\right)$$
      
      

      et en sortie de la lentille ($z=p^+$) avec $p=F$

      $$\begin{eqnarray*} f_{p+}(x,y) & = &\frac{\psi_0}{F} \: e^{ikF}\ e^{\frac{i\pi x_... ...\ & = & Cte\; \exp\left(\frac{2i\pi}{\lambda} \alpha x\right) \end{eqnarray*}$$
      
      
      avec $\alpha=-x_0/F$. C'est l'amplitude d'une onde plane, d'incidence inclinée et de vecteur d'onde $\vec k =(-\frac{x_0}{F},0,\gamma)$ avec $\gamma=\sqrt{1-\alpha^2}$.
4. On suppose $x_0=0$ et $p>F$.
   1. Amplitude complexe à la sortie de la lentille (plan $z=p^+$) :
      
      $$f_{p+}(x,y)=\frac{\psi_0}{p} \: e^{ikp}\: \exp\left[\frac{i\pi \rho^2}{\lambda}\left(\frac 1 p-\frac 1 F\right)\right]$$
      
      

   2. La phase est en $\rho^2$, caractéristique d'une onde sphérique dans l'approximation paraxiale.
   3. Est-elle convergente car le signe de $\left(\frac 1 p-\frac 1 F\right)$ est négatif. Elle converge vers un point de coordonnées $(x_s,y_s,z_s)$ avec $z_s>p$ (si l'onde de propage vers les $z>0$). Ce point est en fait l'image géométrique de la source par la lentille.
      
      
   4. Pour trouver le centre $(x_s,y_s,z_s)$ de l'onde sphérique $f_{p+}(x,y)$, on identifie au cas général :
      
      $$f_p(x,y)=Cte\: \exp\left(\frac{i\pi [(x-x_s)^2+(y-y_s)^2]}{\lambda \vert z-z_s\vert}\right)$$
      
      
      avec $z=p$. On a ainsi $x_s=y_s=0$ (le centre de l'onde est sur l'axe), et
      
      $$\frac{1}{\vert p-z_s\vert}=\frac 1 F-\frac 1 p$$
      
      
      c'est à dire $z_s=\frac{p^2}{p-F}$ compte tenu de la condition $z_s>p$.
   5. A partir de l'égalité ci-dessus :
      
      $$\frac{1}{\vert p-z_s\vert}=\frac1 {p'}=\frac 1 F-\frac 1 p$$
      
      
      on déduit la formule de conjugaison :
      
      $$\frac 1 p+\frac 1 {p'}= \frac 1 F$$
      
      

Retour énoncé