L3 Physique -- Premier partiel d'optique

5 Mars 2014

2 pages, durée 1h30

Documents autorisés : une feuille A4 recto-verso manuscrite, formulaire de TF.

Questions de cours

  1. Rappeler ce que doit être la dimension (quelle unité) d'un coefficient de transmission
  2. Ecrire coefficient de transmission d'un diaphragme carré de côté $\epsilon$ (on appellera $(x,y)$ les coordonnées d'un point dans le plan du diaphragme).
  3. On fait tendre $\epsilon$ vers 0 de sorte que le diaphragme devienne un trou quasi-ponctuel. Vers quelle quantité, fonction de $(x,y)$ tend le coefficient de transmission ?
  4. Dans cette hypothèse, calculer l'intensité diffractée à l'infini par ce trou lorsqu'il est éclairé sous incidence normale par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude constante $A$ dans le plan du trou.

Couche anti-reflets

$\textstyle \parbox{100mm}{ On désire limiter l'importance des reflets à la trav... ...ficient de réflexion $\displaystyle r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$ \end{itemize} }$ \includegraphics{antireflet.eps}

Le principe de la couche anti-reflets consiste à déposer sur le dioptre, une couche très mince d'un produit transparent d'indice $n'$ inférieur à l'indice $n$ du verre. On crée ainsi deux ondes réfléchies qui s'annulent par interférence destructrice si l'épaisseur et l'indice de la couche sont bien choisis.

On considère une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ se propageant dans l'air parallèlement à l'axe $\hat z$ et dans le sens des $z>0$. Son amplitude complexe vaut $\psi_0$ dans le plan $z=0$. Cette onde rencontre la couche anti-reflets d'indice $n'$ dans le plan $z=0$ et se sépare en une onde réfléchie $\psi_1$ et une onde transmise. Cette onde transmise rencontre le verre d'indice $n$ dans le plan $z=e$ et donne naissance à une seconde onde réfléchie $\psi_2$.

Compte-tenu des valeurs habituelles des indices des verres et des couches, il sera inutile de prendre en compte les réflexions multiples dans la couche anti-reflet. De même, on approximera les coefficients de transmission à 1. L'indice de l'air sera pris égal à 1.

  1. Ecrire l'amplitude complexe $\psi_1$ de la première onde réfléchie à la sortie de la couche anti-reflets en $z=0$.
  2. Ecrire l'amplitude complexe $\psi_2$ de la seconde onde réfléchie à la sortie de la couche anti-reflets en $z=0$. On pourra utiliser un schéma équivalent plus simple pour la propagation de cette onde.
  3. A quelle condition sur $e$ a-t-on une opposition de phase entre $\psi_1$ et $\psi_2$, c'est à dire que le rapport $\psi_2/\psi_1$ est un réel négatif (on rappelle que $n'<n$) ?
  4. En supposant cette condition réalisée, quelle est la valeur de $n'$ qui annule la somme $\psi_1+\psi_2$ ?

Lentille éclairée par une source ponctuelle

On considère une source ponctuelle dans le vide, située en un point de coordonnées $(x_0,0,0)$ avec $x_0\ge 0$. Cette source émet une onde sphérique de longueur d'onde $\lambda$. Dans le plan $z=p>0$ se trouve une lentille convergente de focale $F$. On se place dans les conditions de l'optique paraxiale.
  1. Ecrire le coefficient de transmission de la lentille en fonction des coordonnées $(x,y)$
  2. Ecrire l'amplitude complexe à la sortie de la lentille (plan $z=p^+$) lorsque $x_0=0$ et $p=F$. Décrire cette onde (quel type d'onde, quelle direction de propagation, etc...), faire éventuellement un dessin.
  3. On suppose $p=F$ et $x_0>0$.
    1. A quelle condition sur $x_0$ peut-on faire l'approximation paraxiale (aucune démonstration n'est demandée) ?
    2. Ecrire l'amplitude complexe à la sortie de la lentille (plan $z=p^+$). Décrire cette onde (quel type d'onde, quelle direction de propagation, etc...), faire éventuellement un dessin.
  4. On suppose $x_0=0$ et $p>F$.
    1. Ecrire l'amplitude complexe à la sortie de la lentille (plan $z=p^+$)
    2. A quoi voit-on que l'on a affaire à une onde sphérique ?
    3. Est-elle convergente ou divergente ?
    4. Identifier la position $z_s$ du centre de cette onde (sa source si l'onde est divergente ou son point de convergence si l'onde est convergente).
    5. On appelle $p'$ la quantité $z_s-p$. Relier $p'$ à $p$ et $f$ et montrer qu'on retrouve la formule de conjugaison de l'optique géométrique.

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