Licence de Physique -- Premier partiel d'optique II

Documents: feuille A4 RV manuscrite + formulaire de TF - durée 2h

Date: 14 Novembre 2008

Mire de Ronchi

On considère un réseau dont le coefficient de transmission vaut alternativement 0 ou 1 sur des plages de largeur $a$ comme dessiné sur la figure ci-contre. Ce réseau, supposé infini pour l'instant, est éclairé sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan du réseau.

1. Donner la période de ce réseau. Ecrire son coefficient de transmission $t(x,y)$
2. Question indépendante des suivantes : Montrer qu'à la sortie, on a une superposition d'ondes planes se propageant dans des directions caractérisées par des vecteurs unitaires de composantes $\alpha_n$ sur l'axe $x$ que l'on calculera, et pondérées par des coefficients que l'on explicitera.
3. Calculer la figure de diffraction à l'infini (intensité $I(\alpha,\beta)$ dans une direction $(\alpha,\beta)$ ) de ce réseau.
4. Expliquer pourquoi les ordres pairs (correspondants à $n$ pair non nul) sont absents.
5. Tracer le graphe de $I(\alpha,0)$
6. Quel est l'ordre maximal observable si $a=2 \mu$ m et $\lambda=0.5 \mu$ m ? Combien voit-on alors de pics dans l'intensité $I(\alpha,\beta)$  ?
7. Comment l'intensité est-elle modifiée si la largeur des plages noires vaut $a+\epsilon$ et celle des plages blanches $a-\epsilon$  ?
8. Les plages blanches et noires sont à nouveau de largeur $a$ . Comment l'intensité est-elle modifiée si on suppose que le réseau est tronqué par une porte de largeur $L\gg a$ dans la direction $\hat x$  ? Quel est dans ce cas le pouvoir de résolution du réseau dans l'ordre $p$  ?

Filtrage d'une fente

Montage double diffraction

On réalise le montage à double diffraction ci-après à l'aide de deux lentilles convergentes, $L_1$ de focale $F_1$ et $L_2$ de focale $F_2$ . On note $P_0$ le plan focal objet de la première lentille, $P_1$ son plan focal image confondu avec le plan focal objet de la lentille $L_2$ . On note $L_2$ le plan focal image de la seconde lentille.

Dans le plan $P_0$ on place une fente de largeur $a$ dans la direction $\hat x$ et infinie dans la direction $\hat y$ . Elle est éclairée sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan $P_0$ .

Dans le plan $P_1$ on place un masque de coefficient de transmission $P(x_1,y_1)=b x_1$ , $b$ est une constante réelle positive. On rappelle à toutes fins utiles que la transformée de Fourier de $x.f(x,y)$ est $$-\frac{1}{2 i \pi} \frac{\partial}{\partial u} \hat f(u,v)$$ (on peut faire le problème sans se servir de cette formule).

1. Ecrire l'amplitude complexe $f_1(x_1,y_1)$ dans le plan $P_1$ juste après le filtrage par $P(x_1,y_1)$ .
2. Faire le graphe de l'intensité correspondante $I_1(x_1,y_1=0)$ en fonction de $x_1$ .
3. Ecrire l'amplitude complexe $f_2(x,y)$ dans le plan $P_2$ .
4. Faire le graphe de l'intensité correspondante $I_2(x,y=0)$ en fonction de $x$ .

Montage triple diffraction

On complète maintenant le montage précédent par une troisième lentille convergente identique à $L_2$ (donc de focale $F_2$ ). Le plan $P_2$ est le plan focal objet de la 3e lentille, on note $P_3$ son plan focal image.

Dans le plan $P_2$ on effectue un second filtrage en plaçant une lame qui multiplie par -1 (déphasage de $\pi$ ) l'amplitude complexe $f_2(x,y)$ pour $x<0$ .

1. Ecrire l'amplitude complexe $f_2(x,y)$ dans le plan $P_2$ à la sortie de la lame.
2. En déduire l'amplitude complexe $f_3(x,y)$ dans le plan $P_3$ .
3. Faire le graphe de l'intensité correspondante $I_3(x,y=0)$ en fonction de $x$ .
4. Donner le contraste et les frquences spatiales de l'intensité $I_3(x,y)$

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