Licence de Physique -- Premier partiel d'optique

Durée 2 h

Date: Documents autorisés : formulaire de TF + 1 feuille A4 manuscrite recto-verso

Fente fine

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes

On considère une fente de longueur $L$ dans la direction $\hat x$ et de largeur très très faible dans la direction $\hat y$ . A cette fente est accolée un film plastique de manière à ce que le coefficient de transmission de l'ensemble s'écrive

$$t(x,y)=a\, \delta(y)\, \vert x\vert\, \prod\left(\frac{x}{L}\right)$$

avec $a$ un nombre réel positif. Ce masque, placé dans le plan $z=0$ est éclairé par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ . On se place dans les conditions de Gauss.

1. Quelle doit être la dimension de $a$ (quelle unité) et pourquoi ?
2. Question de cours : on se place en un point de coordonnées $\vec r(x,y,z>0)$ ; pour quelles valeurs de $z$ peut-on faire l'approximation du champ lointain (diffraction à l'infini de Fraunhöffer). On ne demande pas de démonstration.
3. Diffraction à l'infini
   1. Tracer $t(x,0)$ (sans prendre en compte le $\delta(y)$ ).
   2. En introduisant une fonction triangle, réécrire l'expression de $t(x,y)$ (on rappelle que le produit d'une porte de largeur $L$ par une fonction $f$ de largeur inférieure ou égale à $L$ vaut $f$ )
   3. En déduire l'amplitude $f(\alpha,\beta)$ diffractée à l'infini dans une direction $(\alpha,\beta)$ .
   4. Tracez l'allure du graphe de $f(\alpha,0)$ (faire apparaitre les valeurs ou $f(\alpha,0)=0$ ).
4. Diffraction de Fresnel : on se place maintenant à une distance $z>0$ du masque, on est dans le domaine du champ proche (diffraction de Fresnel). On se place sur l'axe optique $x=y=0$ .
   1. Ecrire sous forme d'une intégrale l'expression de l'amplitude en $(0,0,z)$ (on la notera $f_z(0,0)$ ).
   2. Faire le calcul de l'intégrale (on rappelle que la dérivée de $\exp(i x^2)$ est $2 i x \exp(i x^2)$ )
   3. En déduire l'intensité sur $I_z(0,0)$ sur l'axe et montrer qu'elle s'annule pour certaines valeurs de $z$ .

Réseau bosselé

On considère une lame de verre d'indice $n$ taillée en forme de ``tôle ondulée''. Son épaisseur s'écrit $e(x)=e_0+e_1 \cos(2\pi m x)$ . Cette lame est éclairée sous incidence normale par une onde plane d'amplitude incidente $\psi_0$ dans le plan de la lame. La longueur d'onde est notée $\lambda$ . On fait l'hypothèse $e_1\ll\lambda$ .

1. Ecrire le coefficient de transmission de la lame. Par un développement limité au premier ordre montrer que l'intensité diffractée à l'infini (dans une direction $(\alpha,\beta)$ ) est composée de 3 termes (ordres 0 et $\pm 1$ ).
2. On augmente la valeur de $e_1$ de sorte que le développement limité de la question précédente doit maintenant se faire au second ordre.
   1. Ecrire, dans cette approximation, le coefficient de transmission de la lame
   2. Calculer l'intensité diffractée à l'infini (dans une direction $(\alpha,\beta)$ ) et tracer son graphe
   3. Quelles différences y-a-il avec la question 1 ?
   4. Calculer le rapport d'intensité entre l'ordre 2 et l'ordre 0. On le notera $r_2$
   5. On suppose que l'on peut négliger le second ordre si $r_2<0.01$ . A quelles valeurs de $e_1/\lambda$ celà correspond-il ? (on prendra $n=1.5$ ).
3. Généralisation à $e_1$ quelconque : en utilisant le développement en série de l'exponentielle donné ci-dessous, expliquer pourquoi l'intensité diffractée à l'infini présente des pics dans tous les ordres $n$ (on ne demande pas un calcul explicite de l'amplitude diffractée).
4. Question indépendante des précédentes : Rappeler pourquoi il existe un ordre maximal observable, et donner sa valeur si $m=10^5$  m$^{-1}$ et $\lambda=0.6\mu$ m.

Formules

$\cos^2(x)=(1+\cos(2x))/2$
$\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2$
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
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