L3 Physique -- Premier partiel d'optique

19 Octobre 2010

Date: Durée 2h

Documents autorisés : 1 feuille A4 manuscrite RV + formulaire de TF
Les deux exercices sont indépendants.

Interféromètre de Mach-Zehnder

L'interféromètre de Mach-Zehnder est schématisé sur la figure ci-dessous. Il fait partie de la même famille que celui de Michelson étudié en TD (les interféromètres à division d'amplitude) mais propose deux sorties (deux plans d'observation des interférences) au lieu d'une seule. Il est constitué de 2 miroirs $M_1$ et $M_2$ et de 2 lames séparatrices $S_1$ et $S_2$ . Ces séparatrices sont des lames à faces parallèles dont une face est réfléchissante et l'autre non (traitement anti-reflet). Elles n'ont pas le même coefficient de réflexion selon qu'elles sont éclairées par l'avant ou l'arrière.

L'onde incidente est séparée en deux ondes secondaires au passage de $S_1$ . L'onde secondaire 1 emprunte le trajet 1 : elle se réfléchit sur $S_1$ (plus précisément sur sa face avant), se réfléchit sur $M_1$ avant d'atteindre $S_2$ . Elle se sépare à nouveau en deux : une partie passe à travers $S_2$ pour atteindre l'écran $E_A$ (sortie A de l'interféromètre), l'autre partie se réfléchit sur $S_2$ (face arrière) pour atteindre l'écran $E_B$ (sortie B de l'interféromètre).
L'onde secondaire 2 passe à travers $S_1$ , puis sur $M_2$ et se sépare encore en deux au niveau de $S_2$  : une partie passe à travers $S_2$ pour atteindre $E_B$ , l'autre se réfléchit sur $S_2$ (face avant) pour atteindre $E_A$ . On note $t$ le coefficient de transmission en amplitude des séparatrices (identique pour $S_1$ et $S_2$ ), $r$ le coefficient de réflexion (en amplitude) de la face avant des séparatrices, $r'$ le coefficient de réflexion de leur face arrière. On a $t=r=\frac1{\sqrt{2}}$ et $r'=\frac1{\sqrt{2}} e^{i\pi}$ .

Les 4 trajets possibles sont résumés ci-dessous :

• Le trajet $S_1-M_1-S_2-E_A$ : onde $\psi_{1A}$ . Elle a subi une réflexion (coefficient de réflexion $r$ ) puis une transmission (coefficient de transmission $t$ )
• Le trajet $S_1-M_1-S_2-E_B$ : onde $\psi_{1B}$ (réflexion $r$ puis réflexion $r'$ )
• Le trajet $S_1-M_2-S_2-E_A$ : onde $\psi_{2A}$ (transmission $t$ puis réflexion $r$ )
• Le trajet $S_1-M_2-S_2-E_B$ : onde $\psi_{2B}$ (transmission $t$ puis transmission $t$ )

L'onde incidente est plane et monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ . Elle se propage parallèlement à l'axe $\hat z$ (dans la direction des $z>0$ ) et son amplitude complexe est $\psi_0$ dans le plan $z=0$ . On appelle $a$ la distance $OS_1$ , $b$ la distance $S_1M_1=S_1M_2=M_1S_2=M_2S_2$ , et $d$ la distance $S_2E_A=S_2E_B$ . On note $(x,y)$ les coordonnées d'un point dans le plan $E_A$ ou $E_B$ .

1. Ecrire l'amplitude complexe de $\psi_{1A}$ et $\psi_{2A}$ . En déduire l'intensité $I_A$ dans le plan $E_A$
2. Ecrire l'amplitude complexe de $\psi_{1B}$ et $\psi_{2B}$ . En déduire l'intensité $I_B$ dans le plan $E_B$
3. Y-a-t-il conservation de la puissance lumineuse entre le plan $z=0$ et les deux sorties de l'interféromètre (répondez en quelques lignes) ?
4. On introduit dans le trajet 1 une petite lame à faces parallèles d'indice $n$ et d'épaisseur $e$
   1. Ecrire le coefficient de transmission de la lame
   2. Réécrire les amplitudes complexes de $\psi_{1A}$ et $\psi_{1B}$ en tenant compte de la lame
   3. Calculer les intensités $I_A$ et $I_B$ sur les deux écrans. La puissance lumineuse est-elle toujours conservée ?
   4. Quelles valeurs de $e$ donnent un éclairage identique sur les deux écrans ($I_A=I_B$ ) ?
   5. Pour quelles valeurs de $e$ a-t-on $\frac{I_B}{I_A}<0.01$  ? A.N. : $n=1.5$ , $\lambda=1\mu$ m. On rappelle que $\arctan(x)\simeq x$ pour $x$ faible (le terme suivant est $-x^3/3$ )
   6. Cet interféromètre vous semble-t-il assez sensible pour faire la mesure de faibles épaisseurs (de l'ordre de $e=\lambda/10$ ), et pourquoi ?

*

Filament lumineux

On considère, dans le plan $z=0$ , un masque de coefficient de transmission $t(x',y')=\epsilon \delta(x')$ (indépendant de $y'$ ) avec $\epsilon$ réel positif et $\delta$ la distribution de Dirac. Cet écran, placé dans le plan $z=0$ , est éclairé sous incidence normale par une onde plane d'amplitude $A$ dans le plan du masque, se propageant vers les $z>0$ . la longueur d'onde est $\lambda$ . On se place dans les conditions de l'optique paraxiale.

1. Pourquoi parle-t-on de ``filament lumineux'' (c'est le titre de cet exercice) ? répondez en quelques phrases (on pourra considérer l'intensité à la sortie du masque).
2. Quelle est la dimension (unité) de $\epsilon$ (et pourquoi) ?
3. Ecrire l'amplitude complexe $f_0(x',y')$ en $z=0^+$ .
4. Ecrire l'amplitude complexe $f_D(x,y)$ pour $z=D$ sous forme d'une convolution (principe de Huyghens-Fresnel)
5. Calculer $f_D(x,y)$
6. De quelle variable ne dépend pas $f_D(x,y)$  ? Quel est ce type d'onde ?
7. Ecrire la phase $\phi(x,y)$ de l'onde.
8. Calculer l'intensité $I_D(x,y)$ .

On réalise maintenant un dispositif dans lequel on mélange la lumière provenant du masque avec celle d'une onde plane sous incidence normale d'amplitude $B\,e^{-i\pi/4}$ dans le plan $z=0$ (même longueur d'onde).

9. Ecrire, dans le plan $z=D$ , l'amplitude complexe résultant de l'interférence de cette onde plane avec $f_D$ .
10. Calculer l'intensité correspondante dans le cas où $A$ et $B$ sont réels et $\vert B\vert\gg \frac{\epsilon}{\sqrt{\lambda D}}\vert A\vert$
11. Donner la position des maxima et minima d'intensité.
12. Calculer le contraste de $I(x,0)$
13. Tracer l'allure du graphe de l'intensité $I(x,0)$ en fonction de $x$ .
14. Montrer que cette technique permet d'obtenir (éventuellement à une constante près) la phase $\phi(x,y)$ de l'onde $f_D$ (elle est appelée ``holographie'', l'image dans le plan $z=D$ est un hologramme)
15. On veut réaliser cette expérience à l'aide d'un interféromètre à division d'amplitude (de type Michelson ou Mach-Zehnder). Proposer un montage optique pour la réaliser.

Formulaire

$$\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

$$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$$

$$\cos(x+\pi)=-\cos(x)$$

$$f(x)\: \delta(x-a) \; = \; f(a)\: \delta(x-a)$$

$$\delta(x) \: \ast \: f(x)\; = \: f(x)$$

$$f(x)\ast\mathbf{1}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx$$

$$\int_{-\infty}^\infty e^{i\pi A x^2}\: dx\; = \; \sqrt{\frac i A} \;\;\; (A\in\mathbb{R})$$

$${\cal F}_u \left[e^{i\pi A x^2} \right] \; = \; \sqrt{\frac i A} \: \exp\left({-\frac{i\pi u^2} A}\right)\;\;\; (A\in\mathbb{R})$$

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