Correction de l'examen d'optique

Session de Septembre 2002

1. Biprisme

1. Une partie de l'onde incidente (correspondant au demi-plan $x>0$) passe par le prisme du haut et donne naissance (si on ne tient pas compte des effets de diffraction) à une onde plane $\psi_1$ inclinée d'un angle $\alpha_1=-(n-1)A$ (angle faible puisque $A$ est faible). De même l'autre partie de l'onde (correspondant au demi-plan $x<0$) passe par le prisme du bas et donne naissance à une onde plane $\psi_2$ inclinée d'un angle $\alpha_2=+(n-1)A$. En un point du plan $z=d$ on observe l'interférence des deux ondes
$$\psi_1(x)=Cte \exp \frac{2 i \pi \alpha_1 x}{\lambda_0}$$ $$\psi_2(x)=Cte \exp \frac{2 i \pi \alpha_2 x}{\lambda_0}$$


L'intensité s'écrit

$$I(x)=I_0 \cos^2 \frac{2 \pi (n-1) A x}{\lambda_0}$$


$I_0$ est une constante réelle et positive. On note que $I(x)$ est indépendante de $d$.

2. L'interfrange $i$ vaut
$$i=\frac{\lambda_0}{2 (n-1) A}=5.7 \mu m$$


Au sens de Shannon il faut échantillonner les franges en mettant deux pixels par frange, ce qui serait possible avec une caméra possédant des pixels de 2.8 $\mu$m. Ici avec une taille de pixel de 15 $\mu$, les franges sont ``sous-échantillonnées'' : un seul pixel voit plusieurs franges.

3. Différence de phase :
$$\Delta\phi=\frac{4 \pi (n-1) A x}{\lambda_0}$$


.La règle de trois habituelle $\Delta\phi=\frac{2 \pi \delta}{\lambda_0}$ permet de trouver la différence de marche équivalente

$$\delta=2(n-1)A x$$


. Le retard $\tau$ est égal au temps de parcours de $\delta$ à la vitesse de la lumière, donc

$$\tau=\frac{\delta}{c}=\frac{2 (n-1) A x}{c}$$
4. Onde quasi-monochromatique :
1. $T$ est un temps, en secondes
2. C'est une question de cours (voir cette partie du cours ou celle-ci). Si on sépare l'onde en deux en imposant à l'une des deux sous-ondes un retard $\tau$, l'inteférence donnera des franges avec un contraste $C(\tau)$ égal à $\vert\gamma(\tau)\vert$. $T$ représente la largeur de la fonction $\gamma(\tau)$, c'est le temps de cohérence.
3. Le cas monochromatique est caractérisé par des interférences de contraste constant quel que soit $\tau$. Ce qui correspond à $T\rightarrow\infty$.
4. D'après le cours, l'intensité des franges d'interférence est donnée, en fonction de la variable $\tau$ par
$$I(\tau)=Cte (1+\vert\gamma(\tau)\vert\; \cos(2\pi\nu_0\tau))$$


avec $\nu_0$ la fréquence de la lumière incidente. Ici $\tau=2 (n-1) A x/c$ d'après la question 3, et l'on obtient une expression de l'intensité en fonction de l'abcisse $x$

$$I(x)=Cte \left[1+\exp\left(-\frac{2(n-1)A\vert x\vert}{cT}\r......\left(\frac{4\pi (n-1)A\vert x\vert}{\lambda_0}\right) \right]$$


quand $T\rightarrow\infty$ on retrouve bien le cas monochromatique de la question 1.

5. Le nombre $N$ de franges visibles est simple à calculer sur $I(\tau)$. C'est le rapport de la largeur de la fonction $\gamma(\tau)$ sur la période des franges. Ainsi
$$N=\frac{T}{1/\nu_0}=\nu_0 T\simeq 6000$$


On remarque que $N$ ne dépend que des deux nombres $T$ et $\nu_0$ qui sont caractéristiques de la lumière incidente et non de l'expérience. Il est donc impossible de doubler $N$ en sans modifier les propriétés de l'onde incidente.

6. Pour mesurer $\vert\gamma(\tau)\vert$, il suffit de calculer localement le contraste des franges d'interférence par la formule habituelle
$$C(x)=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}$$


avec $I_M$ l'intensité au centre d'une frange brillante au voisinage du point $x$ et $I_m$ l'intensité au centre d'une frange sombre. Ce nombre $C(x)$ est précisément égal au degré de cohérence de l'onde (exprimé en fonction de la variable $x$). Il suffit alors de faire une mesure en plusieurs points $x_1$, $x_2$, ...correspondants à des retards $\tau_1$, $\tau_2$, ...pour avoir une mesure de quelques valeurs de $\vert\gamma(\tau)\vert$.

7. $T$ est le temps de cohérence ; il est par définition égal à l'inverse de la largeur spectrale $\Delta\nu$ de la lumière. Exprimée en termes de longueur d'onde, cette largeur spectrale $\Delta\lambda$ est
$$\Delta\lambda=\frac{\lambda_0^2}{c}\Delta\nu=\frac{\lambda_0^2}{cT}=0.08 nm$$
8. L'onde est quasi-monochromatique, son spectre est de la forme $F(\nu)=P(\nu-\nu_0)$. La fonction $P(\nu)$ est le profil de raie, reliée au contraste des franges $\vert\gamma(\tau)\vert$ par la relation (voir cours)
$$\vert\gamma(\tau)\vert=\frac{\vert\hat P(\tau)\vert}{\hat P(0)}$$


On a ainsi, à une constante près, le module de la TF de la fonction $P(\nu)$. Par ailleurs, l'argument du cosinus intervenant dans l'intensité est de la forme $2\pi\nu_0 \tau-\phi(\tau)$ (voir cours) avec $\phi(\tau)$ la partie imaginaire de la TF de $P(\nu)$. Ici on a $\phi(\tau)=0$ et il apparait alors que $P(\tau)$ est une fonction réelle paire. On calcule facilement $P(\nu)$ par TF inverse ; il vient

$$P(\nu)=\frac{Cte}{1+4\pi^2 \nu^2 T^2}$$


et

$$F(\nu)=\frac{Cte}{1+4\pi^2 (\nu-\nu_0)^2 T^2}$$


C'est une fonction lorentzienne de largeur $T$ centrée sur la fréquence $\nu_0$ (typiquement une raie d'émission d'un gaz excité).

2. Diffraction de Fresnel

L'amplitude complexe dans le plan $z=0^+$ à la sortie du trou s'écrit $$f_0(x,y)=\psi_0 \prod\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a} \right)$$

La transformée de Fourier-Fresnel donne l'amplitude complexe $f_d(x,y)$ en un point de coordonnées $x,y$ du plan $z=d$. Sur l'axe optique (x=y=0), l'expression se simplifie en

$$f_d(0,0)=\psi_0 \frac{e^{ikd}}{i\lambda d}\; \int\!\!\!\int_......du trou}} \exp \frac{i\pi (x'^2+y'^2)}{\lambda d} \; dx'\; dy'$$

l'intégrale double provient de l'écriture explicite du terme de transformée de Fourier. L'intégrale se calcule facilement en coordonnées polaires. Il vient

$$f_d(0,0)=\psi_0 e^{ikd} (1-\exp \frac{i\pi a^2}{\lambda d})$$

l'intensité peut s'écrire (à l'aide de la formule $2 \sin^2 x=1-\cos 2x$)

$$I_d(0,0)=4\vert\psi_0\vert^2 \; \sin^2 \frac{\pi a^2}{2 \lambda d}$$