Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Session de Septembre 2002

Partie II -- Optique

Les 2 exercices sont indépendants.

1. Biprisme

Une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda_0$ éclaire sous incidence normale un biprisme formé de deux prismes identiques d'indice $n$ et d'angle faible $A$. Chaque prisme est de largeur $a$ dans la direction $Ox$ et de dimensions supposées infinies dans la direction $Oy$. Pour $\vert x\vert>a$, un diaphragme opaque stoppe le passage de la lumière. Cet écran est placé dans le plan $z=0$, on observe dans le plan $z=d\gg a$. On donne les valeurs numériques suivantes : $\lambda_0=500~nm$, $d=1~m$, $n=1.5$, $A=10^\circ$.

\epsfbox{biprism.eps}

  1. Dans tout le problème, on néglige la diffraction par les bords des prismes. Montrer que chaque point du plan $z=d$ est éclairé par deux ondes provenant chacune d'un des prismes. Ecrire à une constante multiplicative près l'intensité dans le plan $z=d$.
  2. Calculez l'interfrange. On place dans le plan $z=d$ une caméra CCD avec des pixels de largeur 15 $\mu$. Les franges sont-elles bien échantillonnées (au sens de Shannon) ? Sinon, que suggérez-vous comme taille de pixels pour échantillonner correctement ces franges ?
  3. Quelle est la différence de phase $\Delta\phi$ entre les deux ondes arrivant en un point d'abcisse $x$ du plan $z=d$ ? Ecrire la différence de marche $\delta$ associée à $\Delta\phi$ et le retard $\tau$ correspondant.
  4. L'onde incidente, toujours plane et sous incidence normale, est cette fois quasi-monochromatique autour de la longueur $\lambda_0$. Elle possède un degré complexe de cohérence normalisé $\gamma(\tau)$ dont le module vaut $\vert\gamma(\tau)\vert=\exp(-\vert\tau\vert/T)$ avec $T=10^{-11}$ S.I.
    1. Quelle est la dimension de $T$ (quelle unité SI) ?
    2. Rappeler en quelques lignes (pas de calculs !) la signification physique de $\gamma(\tau)$ et de $T$.
    3. A votre avis, le cas parfaitement monochromatique correspond-il à $T\rightarrow 0$ où à $T\rightarrow \infty$ ? Pourquoi ?
    4. Ecrire, à une constante multiplicative près, l'intensité dans le plan $z=d$ (on pourra se servir de la relation entre $\tau$ et $x$ obtenue dans la question 3). Vérifiez que vous retrouvez le cas monochromatique de la première question en faisant tendre $T$ vers la valeur adéquate.
    5. Combien de franges sont visibles ? Peut-on modifier l'expérience pour doubler ce nombre de franges visibles sans toucher aux propriétés de la lumière incidente ?
    6. Proposez une méthode pour mesurer $\vert\gamma(\tau)\vert$ à partir des franges dans le plan $z=d$.
    7. Donnez, en fonction des grandeurs définies dans l'énoncé, un ordre de grandeur de la largeur spectrale $\Delta\lambda$ de la lumière incidente.
    8. Calculer, à une constante multiplicatice près, le spectre $F(\nu)$ de la lumière incidente en fonction de la fréquence $\nu$ (on appellera $\nu_0$ la fréquence associée à la longueur d'onde $\lambda_0$)
On rappelle les TF suivantes :
\begin{displaymath}f(x)=\prod\left(\frac{x}{a} \right) \; \longrightarrow \; \hat f(u)=a \;\mbox{sinc}(\pi u a)\end{displaymath}

 
 
\begin{displaymath}f(x)=\exp-\vert x\vert \; \longrightarrow \; \hat f(u)=\frac{2}{1+4 \pi^2 u^2}\end{displaymath}
Voir la solution

2. Diffraction de Fresnel

Un trou circulaire de diamêtre $a$ est éclairé sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ se propageant vers les $z>0$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan $z=0$. Ce trou est placé dans le plan $(x,y,z=0)$. Calculer, dans l'approximation paraxiale, l'intensité diffractée par ce masque en tout point de coordonnées $x=0,y=0,z>0$ (donc sur l'axe optique).

Voir la solution