Interférences avec un spectre cannelé

On réalise une expérience d'interférences en éclairant un dispositif de trous d'Young avec une onde plane polychromatique arrivant sous incidence normale. La distance entre les deux trous, alignés le long de l'axe $ Ox$ est $ a$ , les franges sont observées sur un écran $ (E)$ placé à une distance $ D$ du plan des trous. On appelle $ (x,y)$ les coordonnées d'un point $ M$ de $ (E)$ où l'on observe les franges d'interférences.

Le spectre de la lumière est de la forme

$\displaystyle F(\nu)=B(\nu) \cos^2 \pi\frac{\nu}{\delta\nu} $

où $ B(\nu)$ est le spectre de la lumière blanche, modélisé par une gaussienne

$\displaystyle B(\nu)=\exp -\pi\frac{(\nu-\nu_0)^2}{\Delta\nu^2} $

de largeur $ \Delta\nu$ centrée sur la fréquence $ \nu_0$ . On fera l'hypothèse que $ \nu_0/\delta\nu$ est entier.

  1. Dessiner grossièrement le spectre de l'onde incidente lorsque $ \Delta\nu/\delta\nu = 10$ . Pourquoi parle-t'on de spectre cannelé ? Quel est l'ordre de grandeur du nombre de cannelures dans $ F(\nu)$  ?
  2. Calculer le degré de cohérence temporelle de l'onde incidence.
  3. Ecrire l'intensité moyenne des franges d'interférences au point $ M$ .
  4. Dessiner l'aspect du champ d'interférences lorsque $ \Delta\nu/\delta\nu = 10$ montrer qu'on observe dans ce cas trois paquets de franges centrées en $ x=y=0$ et $ x= \pm x_c,y=0$ , calculer $ x_c$ .
  5. Combien observe-t'on de franges dans chaque paquet ? A.N : $ \lambda= 500$  nm, $ \Delta\lambda= 100$  nm. Quelle condition doit-on remplir pour qu'il n'y ait pas de recouvrement entre les trois paquets ?

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