Filtrage d'une mire sinusoïdale par un filtre de phase

On considère une mire sinusoïdale dont le coefficient de transmission s'écrit :

$$t(x,y)=1+ m\cos\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)$$

avec $m\ll 1$. La mire est éclairée sous incidence normale par une onde plane monochromatique, le schéma de l'expérience est un montage 4f classique identique à celui de cet exercice.

1. Quelles sont les fréquences spatiales présentes dans la mire ? La mire est placée dans le plan $P_0$. Calculer l'intensité $I_0(x,y)$ dans ce plan et donner son contraste.

2. Calculer l'amplitude complexe de l'onde dans le plan $P_1$.

3. Dans le plan de filtrage $P_1$ on place un masque de phase dont la transmission $P(x,y)$ s'écrit
   
   $$P(x,y)=\exp\left(i\pi\frac{V}{\lambda} (x^2+y^2)\right)$$
   
   
   . Quelle est la nature de ce masque et quelle est la signification de $V$ ?

4. Ecrire l'amplitude complexe et l'intensité dans le plan $P_2$.

5. Quelles sont les valeurs de $V$ pour lesquelles l'intensité est uniforme dans le plan $P_2$ ?
6. Donner le contraste de l'intensité et montrer que le contraste s'inverse pour certaines valeurs de $V$.