Montage à double diffraction

Ce montage à deux lentilles permet d'observer l'objet filtré. Deux lentilles L₁ et L₂ de focales respectives f₁ et f₂ sont conjuguées : le plan focal image de L₁ est le même que le plan focal objet de L₂ comme illustré par le schéma ci-après. Une première diffraction de Fraunhofer permet d'observer dans le plan intermédiaire P₁ la TF de l'objet placé en P₀. Une seconde diffraction de Fraunhofer permet d'observer dans le plan P₂ la TF de l'amplitude en P₁ qui correspond à l'objet en P₀ retourné de 180 $^\circ$ . Ce montage est dit ``à double diffraction''.

On appelle

$\psi_0$ l'amplitude de l'onde plane incidente dans le plan P₀ (incidence normale)
f₁ et f₂ les focales des deux lentilles
(x',y'), (x₁,y₁) et (x,y) les coordonnées d'un point dans chacun des trois plans P₀, P₁ et P₂
t(x',y') le coefficient de transmission de l'objet placé dans le plan P₁
P(x₁,y₁) le coefficient de transmission du masque de filtrage placé dans le plan P₁

Faisons le calcul de la propagation de P₀ à P₂. A la sortie du plan P₀, l'amplitude est

$\begin{displaymath}f_0(x',y')=\psi_0\; t(x',y')\end{displaymath}$

A l'entrée dans le plan P₁ elle s'écrit

$\begin{displaymath}\displaystyle f_1(x_1,y_1)=\frac{e^{2 i k f_1}}{i \lambda f_1... ..._0\left(\frac{x_1}{\lambda f_1}, \frac{y_1}{\lambda f_1}\right)\end{displaymath}$

Dans le plan P₁ on effectue le filtrage et on multiplie l'amplitude f₁ par le masque. On obtient :

$\begin{displaymath}g(x_1,y_1)=\frac{e^{2 i k f_1}}{i \lambda f_1} \; \hat f_0\le... ..._1}{\lambda f_1}, \frac{y_1}{\lambda f_1}\right) \; P(x_1,y_1) \end{displaymath}$

dans le plan P₂ l'amplitude s'écrit alors

$\begin{displaymath}f_2(x,y)=\frac{e^{2 i k f_2}}{i \lambda f_2} \; \hat g\left(\frac{x}{\lambda f_2}, \frac{y}{\lambda f_2}\right)\end{displaymath}$

avec

$\begin{displaymath}\hat g\left(\frac{x}{\lambda f_2}, \frac{y}{\lambda f_2}\righ... ...da f_1} , \frac{y_1}{\lambda f_1}\right)\; P(x_1,y_1) \right\} \end{displaymath}$

Ce qui donne, compte tenu de la relation ${\cal F}[{\cal F}[f(x,y)]]=f(-x,-y)$ et de la propriété

$\begin{displaymath}\mbox{\fbox{$\displaystyle f_2(x,y)=-\frac{f_1}{f_2}\; e^{2 i... ...\left(\frac{x}{\lambda f_2}, \frac{y}{\lambda f_2}\right) $ } }\end{displaymath}$

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**Figure 1.2:** Simulation de l'effet du filtrage optique sur un objet dont le coefficient de transmission est représenté sur la photo de gauche. Les focales f₁ et f₂ sont dans un rapport 1.3, le masque utilisé pour le filtrage est un diaphragme carré. La photo de droite montre le module de l'amplitude dans le plan P₂. L'objet est inversé (signe -), agrandi (terme d'homotétie f₁/f₂) et les détails fins ont disparu (effet de la convolution).
$\begin{figure}\hskip 0.5cm \epsfbox{eps/filt_aris.eps} \end{figure}$

C'est une relation de filtrage linéaire entre les amplitudes dans les plans P₀ et P₂. Chacun des termes de cette relation s'interprète

le terme $\exp (2 i k (f_1+f_2))$ exprime un déphasage global dû à la propagation sur la distance $P_0\longrightarrow P_2$
la réponse impulsionnelle du filtrage est la transformée de Fourier du masque filtrant

$\begin{displaymath}\hat P\left(\frac{x}{\lambda f_2}, \frac{y}{\lambda f_2}\right) \end{displaymath}$

c'est l'amplitude qui serait observée si l'objet en P₀ était un Dirac (trou d'aiguille par exemple). Ce terme est responsable d'un empâtement global de l'image (disparition des détails fins). Plus le masque est petit, plus sa TF est étendue et plus l'image apparait floue.
le terme $f_0\left(-x \frac{f_1}{f_2},-y \frac{f_1}{ f_2}\right)$ est identique à l'amplitude en P₀, mais retournée de 180 $^\circ$ (signe -) et agrandie d'un facteur $\frac{f_2}{f_1}$
enfin le terme multiplicatif $\frac{f_1}{f_2}$ exprime la conservation d'énergie : l'image en P₂ est plus grande (ou plus petite) que l'image en P₀ donc la quantité de lumière par unité de surface y est plus faible (ou plus élevée).

La figure 1.2 montre un exemple de filtrage de la photographie de l'auteur par un masque carré.