Quatrième interrogation d'optique : correction

1. Les deux ondes sont planes, de vecteurs d'ondes orientés suivant $\pm\hat x$ ; leurs amplitudes complexes s'écrivent dans le champ d'interférences

 

 
 


$$\psi_1(x)=\psi_0\; \exp ikx$$




et

$$\psi_2(x)=\psi_0\; \exp -ikx$$




ce qui donne une intensité

$$I(x)=2\vert\psi_0\vert^2(1+\cos 2kx)$$




interfrange $\lambda/2$, contraste 1.

2. Entre les deux ondes existe maintenant une différence de marche à l'origine $\delta=L \sin\theta$ dûe au fait qu'un front d'onde incident atteint le télescope 1 après le télescope 2. L'intensité devient :
$$I(x)=2\vert\psi_0\vert^2(1+\cos k(2x+\delta))$$




l'interfrange et le contraste sont inchangés, l'origine se décale de $-\delta/2$ (vers la gauche sur le dessin)

3. Onde quasi-monochromatique : le terme en cosinus est multiplié par un contraste $C(\tau)$ d'épendant du retard entre les deux ondes en un point $x$ du champ d'interférences : $\tau=2x/c$ ($2x$ et pas simplement $x$ : à $t$ si un front d'onde de $\psi_1$ se trouve en $x$, le front d'onde correspondant de $\psi_2$ se trouve en $-x$, la différence de marche entre les deux est $2x$). La demi-largeur de $C(\tau)$ est le temps de cohérence ; le changement de variable $x=2c\tau$ montre que le contraste des franges, exprimé en fonction de $x$ dans le champ d'interférences a une largeur $L_c=L/10$ (longueur de cohérence). Le champ d'interférences présentera donc des franges de contraste décroissant, dans une zône de largeur $L/10$ autour du point $O$.


4. Même raisonnement que précédemment, le retard entre les deux ondes en un point $x$ est $(2x+\delta)/c$. Le paquet de franges se décale de $-\delta/2$. Le point $O$ reste dans le paquet de franges si le décalage d'origine $\delta/2$ est inférieur à la demi largeur du paquet $L_c/2$. Soit si $\sin\theta<0.1$ ce qui donne une plage de distances zénitales comprises dans un intervalle de $\pm 5.7^\circ$ autour du zénith.


5. L'origine des franges est située en $-\delta/2=-L \sin\theta/2$ et se déplace à la vitesse $\vert v\vert=L \dot{\theta}/2 \; \cos\theta$. Pour une source au zénith ($\theta=0$) avec les valeurs proposées on obtient $v$=3.6 mm/s