Licence de Physique -- Interrogation d'optique II

Sans document - durée 30 mn

Date: 21 Octobre 2008

Un masque percé de trois trous carrés de côté $a$ est éclairé sous incidence normale par une onde électromagnétique plane de longueur d'onde $\lambda$ . On note $\psi_0$ l'amplitude complexe incidente dans le plan du masque pris comme origine des $z$ . Les trous sont centrés sur les positions $(-b,0,0)$ , $(0,0,0)$ et $(+b,0,0)$ (avec $b>a$ ).

Le but de l'exercice est de calculer l'intensité dans un plan $z=d$ en se plaçant dans l'approximation du champ lointain (diffraction à l'infini, $d\gg b$ ).

1. Ecrire le coefficient de transmission du masque dans le plan $z=0$ .
2. Calculer l'intensité $I(x,y)$ dans le plan $z=d$ . Faire apparaitre une somme de cosinus.
3. On se place dans l'hypothèse où $a\rightarrow 0$ .
   1. Ecrire l'intensité dans ce cas. Cette fonction est périodique. Quelle est sa période $L$ ?
   2. Calculer les valeurs de $x$ où la dérivée de l'intensité s'anulle dans l'intervalle $[0,L[$ (on rappelle que $2\, \cos^2(x)=1+\cos(2 x)$ , que $\sin(2 x)=2\, \sin(x)\,\cos(x)$ et que $\cos(2\pi/3)=-1/2$ )
   3. En déduire l'emplacement des franges sombres (dans l'intervalle $[0,L[$ ).
   4. De même pour les franges brillantes. Mettre en évidence la présence de maxima principaux et secondaires de l'intensité et préciser la position de ces maxima dans l'intervalle $[0,L[$ .
   5. Tracer la courbe de l'intensité $I(x,0)$ dans l'intervalle $[-2 L, 2 L]$ (faire apparaitre les abcisses et les ordonnées des maxima et minima sur les axes).

On donne les transformées de Fourier suivantes :

$$f\left(\frac{t}{a}\right) \xrightarrow{\mbox{TF}} \vert a\vert \: \hat{f}(a \nu)$$ $$f(t+\tau) \xrightarrow{\mbox{TF}} \hat{f}(\nu)\; e^{2 i \pi \nu \tau}$$ $$\Pi(t) \xrightarrow{\mbox{TF}} \mbox{sinc}(\pi\nu)$$

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