Interférence de deux ondes sphériques

On considère deux ondes sphériques d'amplitudes complexes $\psi_1$ et $\psi_2$, de sources $S_1$ et $S_2$, monochromatiques et de même longueur d'onde $\lambda$. Les sources sont placées dans le plan $(xOy)$ en $(x=\pm a/2, y=0)$. On observe sur un écran placé à une distance $D$ du plan des sources l'intensité résultant de l'interférence de ces deux ondes. La géométrie du problème est celle de la figure ci-dessous.

L'amplitude complexe des deux ondes s'écrit en un point $M$ du champ d'interférences (avec $\vec r=\vec{OM}$) :

$$\begin{array}{lll}\psi_1(\vec r,t) & = & \displaystyle \fra......yle \frac{\psi_{02}}{r_2} \; e^{i (k r_2-\omega t)}\end{array}$$

où $r_1=\vert\vec r-\frac{a}{2}\hat x\vert$ et $r_2=\vert\vec r+\frac{a}{2}\hat x\vert$ désignent les distances entre le point courant et les sources.

Calcul de l'intensité dans le plan $(x,y,D)$

Comme toujours on calcule l'intensité moyennée sur le temps de pose du détecteur utilisé pour observer les interférences, par exemple l'oeil ou une caméra. Soit $I(x,y,D)$ l'intensité résultant de l'interférence des deux ondes, $I_1$ et $I_2$ les intensités qui seraient produites par les sources $S_1$ et $S_2$ seules. On a alors (cf. paragraphe  ``intensité d'une onde'') : $$I(x,y,D)=\vert\psi_1+\psi_2\vert^2=\vert\psi_1\vert^2+\vert\psi_2\vert^2+2 \vert\psi_1 \psi_2\vert\; \cos(k(r_2-r_1))$$

Soit

$$I(x,y,D)=I_1+I_2+2 \sqrt{I_1 I_2}\; \cos(k(r_2-r_1))$$

C'est une somme de trois termes :

• Les termes $I_1$ et $I_2$ sont à variation lente, presque constants dans le cas fréquent où $D\gg a$ et $D\gg x,y$ (optique paraxiale) :
$$I_1=\frac{\vert\psi_{01}\vert^2}{r_1^2}\simeq \frac{\vert\psi_{01}\vert^2}{D^2}$$
• Le terme
$$I_{12} = 2 \sqrt{I_1 I_2}\; \cos(k(r_2-r_1))$$


est appelé intensité mutuelle, c'est lui qui contient les interférences. Il est à variation rapide (période des oscillations $\simeq\lambda$) et présente des oscillations conduisant à l'observation d'une figure d'interférence striée de franges brillantes et sombres.

Allure de la distribution d'intensité

Dans le cas général (pas de condition sur $D$), les lignes d'iso-intensité sont données par les lignes de crète du cosinus, soit $$r_1-r_2=\mbox{Cte}=K$$

En développant $r_1$ et $r_2$,

$$\begin{array}{l}\displaystyle r_1^2=(x-\frac{a}{2})^2+y^2+D^2\\ \\\displaystyle r_2^2=(x+\frac{a}{2})^2+y^2+D^2\end{array}$$

on obtient après quelques lignes de calcul l'équation des lignes d'iso-intensité, c'est l'équation d'une famille d'hyperboles dans le plan $(x,y,D)$ :

$$\frac{x^2}{\displaystyle \frac{K^2 (4 D^2-a^2-K^2)}{4 (a^2-K^2)}} - \frac{y^2}{D^2-\frac{a^2+K^2}{4}} =1$$

La figure ci-dessous donne l'allure du champ d'interférences.

Approximation paraxiale

$\parbox{9.5cm}{Cette approximation consiste \\lq a dire que les rayons......peut faire un d\'eveloppement limit\'e des expressions de $r_1$\ et de $r_2$~:}$
 
  $$\begin{array}{l}\displaystyle r_1\simeq D+ \frac{y^2}{2D} +......eq D+ \frac{y^2}{2D} + \frac{(x+\frac{a}{2})^2}{2D}\end{array}$$

d'où

$$r_1-r_2=-\frac{a x}{D}$$

et l'intensité devient

$$I(x,y,D)=I_1+I_2+2 \sqrt{I_1 I_2}\; \cos\left(\frac{2\pi a x}{\lambda D}\right)$$

Les franges sont cette fois rectilignes, alignées avec l'axe $y$. Deux quantités caractérisent ces franges :

• L' interfrange est la distance entre deux franges brillantes successives. Il est ici égal à
$$i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{\lambda}{\theta}$$


$\theta$ étant l'angle sous lequel sont vues les sources $S_1$ et $S_2$ depuis le plan d'interférences

• Le contraste est défini comme
$$C=\frac{I_{\mbox{max}}-I_{\mbox{min}}}{I_{\mbox{max}}+I_{\mbox{min}}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1+I_2}$$
 
 

Il mesure la visibilité des franges. Un contraste de 1 décrit une figure où les franges noires sont d'intensité nulle, tandis qu'un contraste nul traduit une teinte unforme. Une figure de contraste intermédiaire apparait striée de franges grisâtres, d'autant plus grisâtres que le contraste tend vers 0.

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