Interféromètre de Michelson

Le dispositif est celui de la figure suivante. Une onde incidente $\Sigma$ arrive sur une lame séparatrice sous une incidence de 45$^\circ$. La moitié de cette onde ($\Sigma_1$) se réfléchit vers le miroir $M_1$, l'autre moitié ($\Sigma_2$) traverse la séparatrice et va se réfléchir sur le miroir à translation réglable $M_2$. Les deux ondes reviennent sur la séparatrice. La encore, elles se séparent en deux parties, mais on ne s'intéresse qu'aux parties qui vont vers le champ d'interférences (plan $E$).

 

Schéma de principe d'un interféromètre de Michelson. Une onde incidente (ici plane) éclaire une lame séparatrice de centre $C$. Une partie de l'onde est réfléchie (ici 50% de l'amplitude) vers un miroir $M_1$, puis revient vers la séparatrice et la traverse (à nouveau une perte de 50% de l'amplitude). L'autre partie de l'onde incidente est transmise vers le miroir réglable $M_2$, revient vers la séparatrice et se réfléchit en partie vers l'écran d'observation. Dans cet exemple on observe une intensité uniforme (teinte plate).

Les applications de l'interféromètre de Michelson sont vastes ; dans cet exemple on se limitera à une onde incidente plane monochromatique. Les notations de cet exemple sont les suivantes :

• $d$ : distance $O-C$ ($C$ est le centre de la séparatrice)
• $d_1$ : distance $C-M_1$
• $d_2$ : distance variable $C-M_2$
• $d'$ : distance entre $C$ et le centre du plan $E$
• $\psi(z,t)=\psi_0\; \exp \frac{2 i \pi z}{\lambda} e^{-i\omega t}$ : amplitude complexe de l'onde $\Sigma$
• $\psi_1(z,t)$ : amplitude complexe de l'onde $\Sigma_1$
• $\psi_2(z,t)$ : amplitude complexe de l'onde $\Sigma_2$

Les problèmes faisant intervenir des réflexions sur des miroirs se traitent en ``dépliant'' le trajet de l'onde de manière à le rendre rectiligne ; on traite alors un problème équivalent plus simple. Par exemple pour l'onde $\Sigma_1$ tout se passe comme si la propagation avait eu lieu en ligne droite sur une distance $d+2 d_1+2 d'$. On se ramène alors au problème équivalent plus simple suivant :

Intensité de l'onde au point $M$

En un point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le plan d'observation, les amplitudes des deux ondes s'écrivent $$\psi_1(z,t)=\frac{\psi_0}{4}\; e^{-i\omega t} \; \exp \frac{2 i \pi (d+2 d_1+2 d')}{\lambda}$$

et

$$\psi_2(z,t)=\frac{\psi_0}{4}\; e^{-i\omega t} \; \exp \frac{2 i \pi (d+2 d_2+2 d')}{\lambda}$$

L'intensité s'écrit, en faisant intervenir la quantité $\delta=2 (d_2- d_1)$ (différence de marche entre les deux ondes $\psi_1$ et $\psi_2$) :

$$I(z) \; = \; \vert\psi_1+\psi_2\vert^2 \; = \; \frac{\vert\p...... \left[1+ \cos\left(\frac{2 \pi \delta}{\lambda}\right)\right]$$

$I(z)$ est constante sur tout le plan de l'écran d'observation : on observe une intensité uniforme dite ``teinte plate''. L'intensité de cette teinte plate change lorsqu'on fait varier la position du miroir $M_2$. Elle décrit la sinusoïde ci-dessous dont la période est égale à la longueur d'onde (une fraction de micron dans le visible, ce qui impose des translations de $M_2$ extrèmement faibles pour parcourir la courbe).

L'ordre d'interférence

Il est défini comme le rapport de la différence de marche à la longueur d'onde. Il chiffre le nombre de longueurs d'onde que l'on peut mettre dans la différence de marche. S'il est entier l'interférence des deux ondes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ est constructive. S'il est demi-entier, on observera une teinte plate d'intensité nulle.

Remarque

Si $d_2>d_1$ l'onde $\Sigma_2$ parcourt plus de chemin que l'onde $\Sigma_1$ : elle arrive en $M$ avec un retard $\tau=\delta/c$ ($c$ est la vitesse de la lumière). Comme $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ sont deux répliques identiques de l'onde incidente $\Sigma$, nous avons pratiquement réalisé une interférence entre l'onde $\Sigma$ prise au point $M$ et à l'instant $t$ avec la même onde prise au point $M$ et à l'instant $t+\tau$. Cette notion d'interférence entre une onde et elle-même prise à un instant différent permet de réaliser l'étude de la cohérence temporelle des ondes non monochromatiques. Elle possède de nombreuses applications dans le domaine de la mesure de largeur et de profil des raies d'émission des gaz excités.

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