Correction de l'examen d'optique

Session de Septembre 2001

Première partie

1. La table doit se déplacer dans le sens des $x$
2. La source $S'$ est sur l'axe $SP$ à une distance $2e$ derrière $S$. Dessin du problème équivalent :

 

 
 
 
 
 
 


 
 

3. Différence de marche dans l'approximation paraxiale ($x$ et $y \ll d+d'+D$):
$$\delta=S'M-SM\simeq 2e \left( 1-\frac{\rho^2}{2 d_1^2}\right)$$






avec $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et en posant $d_1=d'+d+D$.

4. L'intensité sur l'écran s'écrit
$$I=\mbox{Cte}\; \cos^2 \left[ \frac{4\pi e}{\lambda} \left( 1-\frac{\rho^2}{2 d_1^2}\right) \right]$$






L'aspect du champ d'interférences est un ensemble d'anneaux concentriques centrés sur le point $P$ et qui se resserrent à mesure qu'on s'éloigne du centre. Le problème est presque identique à celui de la source ponctuelle se réfléchissant dans un miroir (à part le déphasage de $\pi$ à la réflexion). Voir exemple du cours  . L'aspect de la figure est le suivant :
 
 








5. Si on déplace la source en $(0,y_c,0)$, le centre de la figure d'interférences se décale aussi ; le nouveau centre de la figure sera alors en $(0,y_c,0)$.
6. On additionne les intensités des franges produites par chaque source. Ce qui donne

 

 
 






$$I=\mbox{Cte}\; \cos^2 \left[ \frac{4\pi e}{\lambda} \left( 1......\lambda} \left( 1-\frac{x^2+(y-y_c)^2}{2 d_1^2}\right) \right]$$






Les deux constantes sont égales si les sources sont identiques. On ne développera pas davantage les calculs. Il s'agit de deux réseaux d'anneaux de centres distincts. L'aspect est le suivant (les franges verticales sont perpendiculaires à l'écart entre les sources)

Seconde partie

1. En posant $d_3=d_1-f$ l'amplitude $f_0(x,y)$ dans le plan de la lentille s'écrit
$$f_0(x,y)=\mbox{Cte}\; \cos \left[ \frac{4\pi e}{\lambda} \left( 1-\frac{\rho^2}{2 d_3^2}\right) \right]$$
 
2. Par application directe du cours l'amplitude complexe sur l'écran $E$ s'écrit


$$f_E(x,y)=\frac{e^{i k f}}{i\lambda f} \; \exp\left(\frac{i\p...... \hat{f}_0\left(\frac{x}{\lambda f},\frac{y}{\lambda f}\right)$$






Ce qui donne (en développant le cosinus en deux exponentielles) ( Attention : la transformée de Fourier de $f(x/a)$ est $\vert a\vert\hat{f}(au)$, ne pas oublier la valeur absolue).
 
 



$$f_E(x,y)=\mbox{Cte}\; \exp\left(\frac{i\pi\rho^2}{\lambda f}......} \left( 1+\frac{\rho^2 d_3^2}{8 e \lambda f^2}\right) \right]$$

et l'intensité
 
 



$$I_E(x,y)=\mbox{Cte}\; \cos^2 \left[ \frac{4\pi e}{\lambda} \left( 1+\frac{\rho^2 d_3^2}{8 e \lambda f^2}\right) \right]$$

C'est toujours un réseau de Soret comme dans le cas sans lentille. Deux différences ici :

• le signe - devant le terme en $\rho^2$ est devenu un + : inversion du contraste (les noirs remplacent les blancs)
• la taille des anneaux a changé (terme $\frac{\rho^2 d_3^2}{8 e \lambda f^2}$ eu lieu de $1/d_1\2$ en facteur de $\rho^2$)
3. Si on déplace la source d'une quantité $y_c$, l'amplitude complexe $f'_0(x,y)$ dans le plan d'entrée de la lentille change simplement d'origine comme dans la première partie. On a alors

 

 
 






$$f'_0(x,y)=f_0(x,y-y_c)$$

Dans le plan focal de la lentille, les propriétés de la transformée de Fourier prévoient que l'amplitude complexe sera affectée d'un terme de phase $\exp -2 i \pi \frac{y y_c}{\lambda f}$, l'intensité restant inchangée. Ainsi un déplacement de la source ne change rien aux franges observées dans le plan focal de la lentille, alors que sans la lentille les franges se déplacent comme la source.

4. L'intensité s'écrit comme la somme des intensités produites par chacune des sources (elles sont incohérentes entre elles). On a alors :
$$I'_E(x,y)=2 I_E(x,y)$$