Fonction de transfert

Dans l'espace de Fourier la relation 10 devient

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle \hat f_2(-u,-v)=-\lambda^2\, \fra... ... v\frac{f_2}{f_1}\right)\; P(\lambda f_2 u,\lambda f_2 v) $ } }$$ (11)

et fait apparaitre la fonction de transfert du filtrage, $P(\lambda f_2 u,\lambda f_2 v)$ qui n'est autre que la fonction décrivant le coefficient de tranfmission du masque, agrandie d'un facteur $\frac{1}{\lambda f_2}$. Le signe - dans les arguments de $\hat f_2$ traduit le renversement de l'image.

Montage 4f

Un cas particulier intéressant est celui du montage dit ``4f'' dans lequel les deux lentilles sont identiques f₁=f₂=f. Les relations objet-image entre les amplitudes deviennent

$$f_2(x,y)=-e^{4 i k f} \; f_0(-x,-y) \; \ast \; \hat P\left(\frac{x}{\lambda f}, \frac{y}{\lambda f}\right)$$

et dans l'espace de Fourier

$$\hat f_2(-u,-v)=-\lambda^2\,f^2\; e^{4 i k f} \; \hat f_0(u, v)\; P(\lambda f u,\lambda f v)$$

l'objet et l'image ont ici la même taille.

Fréquence de coupure et contraste

Le masque de filtrage est toujours limité spatialement, souvent il s'agit d'une fente ou d'un trou. La fonction P(x₁,y₁) est alors à support borné. Faisons l'hypothèse que P est une fonction paire (comme sur le beau dessin ci-contre) et plaçons-nous sur l'axe y₁=0, la fonction P₁(x₁,0) s'annule pour $\vert x_1\vert\ge d/2$, le support est de largeur d. La fonction de transfert du filtrage $P(\lambda f_2 u,0)$ s'annule alors pour une valeur u_c dite fréquence de coupure et qui vaut

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle u_c=\frac{d}{2 \lambda f_2} $ } }$$ (12)

Physiquement cette valeur représente la fréquence de la sinusoïde la plus serrée que le montage optique est capable d'imager avec un contraste non nul.

En effet considérons un objet sinusoïdal $t(x,y)=\cos^2(\pi x/a)$. Les fréquences spatiales présentes dans cet objet sont 0 et $\pm 1/a$. Effectuons un filtrage optique de cet objet à l'aide d'un montage 4f. La relation 11 devient, K étant la constante multiplicative

$$\hat f_2(-u,-v)=K \; P(\lambda f u,\lambda f v)\; \left[\frac... ...v\right)+\frac{1}{4}\delta\left(u+\frac{1}{a},v\right) \right]$$

ce qui s'écrit aussi

$$\hat f_2(u,v)=\frac{K}{2} \; P(0,0) \, \delta(u,v)\; + \frac{... ...frac{1}{a},v\right)+\delta\left(u+\frac{1}{a},v\right) \right]$$

si la fréquence de la sinusoïde $\frac{1}{a}\ge u_c$, alors $P(\lambda f/a,0)$ et $\hat f_2(u,v)=\frac{K}{2} \; P(0,0) \, \delta(u,v)$ est limitée à son seul pic central. L'image dans le plan P₂ est alors uniforme (contraste nul). On dit que le masque P ne transmet pas les fréquences supérieures à u_c. La figure ci-dessous illustre ce principe.

La fonction de transfert donne une idée du contraste de l'amplitude de l'image dans le plan P₂. Cette amplitude s'écrit comme la transformée de Fourier inverse de l'équation précédente

$$f_2(x,y)=\mbox{Cte}\; \left( P(0,0)+P(\frac{\lambda f}{a},0) \; \cos\frac{2\pi x}{a} \right)$$

Elle correspond à une sinusoïde de contraste

$$C=\left\vert\frac{P(\frac{\lambda f}{a},0)}{P(0,0)}\right\vert$$

Ce qui donne une signification physique à la fonction de transfert et une manière de la masurer. La mesure de la fonction de transfert est un moyen de caractériser la qualité des optiques.

En fait l'oeil et les détecteurs sont sensibles à l'intensité et pas à l'amplitude. Pour cette raison la fonction de transfert mesurée est plutôt celle qui correspond à la relation objet-image en éclairage incohérent (relation sur les intensités et non sur les amplitudes).

   Figure: Illustration du principe de filtrage d'une mire sinusoïdale. En trait continu : graphe de la fonction de transfert $P(\lambda f u,0)$ de fréquence de coupure $u_c=\frac{d}{\lambda f}$. Une grille de période a possède les trois fréquences spatiales 0 et $\pm\frac{1}{a}$, représentées par des pics de Dirac sur le graphe, pour trois grilles de pas a, a', et a" dans le cas oł $\frac{1}{a}<u_c$, $\frac{1}{a'}=u_c$ et $\frac{1}{a''}>u_c$. Dans le premier cas, les pics latéraux sont multipliés par la constante $P(\frac{\lambda f}{a},0)$ et l'objet filtré correspondant est une sinusoïde de contraste moindre. Dans les deux autres cas, seule la fréquence 0 est transmise, l'image dans le plan P₂ est uniforme. Les images du bas donnent l'aspect visuel des trois mires de pas a, a', et a" avant et après filtrage.

Pas	Aspect de la mire	Aspect après filtrage
a
a'
a"