Fréquence de coupure et pouvoir de résolution : cas d'une lunette astronomique

Une lunette astronomique est constituée d'une lentille limitée par un diaphragme circulaire.

La fonction pupille s'écrit

Le pouvoir de résolution en éclairage cohérent est défini à partir de l'image de deux sources ponctuelles.

Soit la répartition angulaire d'amplitude de l'objet. L'image au foyer de la lunette possède une répartition angulaire d'amplitude $i(\alpha ,\beta )$ qui s'écrit à l'aide de la relation (13)

$$i(\alpha,\beta)=\mbox{Cte} \; o(-\alpha,-\beta) \ast R(\alpha,\beta)$$

ce qui donne la superposition de deux réponses impulsionnelles décalées de $\alpha _0$ :

$$i(\alpha,\beta)=\mbox{Cte} \; [R(\alpha,\beta)+R(\alpha+\alpha_0,\beta)]$$

comme schématisé sur le dessin ci-après :

Lorsque l'on fait varier l'écartement $\alpha _0$ des deux sources, les amplitudes $R(\alpha ,\beta )$ et $R(\alpha +\alpha _0,\beta )$ correspondent à deux taches lumineuses dont l'écartement varie dans les mêmes proportions, comme illustré par la figure ci-dessous.

La taille de chaque tache est de l'ordre de $\lambda/d$. Si les deux sources sont très séparées ( $\alpha_0\gg \lambda/d$) les deux réponses impuslsionnelles seront aussi très séparées dans l'image : on observera deux taches. Dans le cas inverse les deux taches se fondent en une seule.

Le cas limite définit le pouvoir de résolution de l'instrument. C'est l'écartement minimum entre deux points séparés en deux taches individuelles. Par extension ce pouvoir de résolution donne la taille du plus petit détail visible dans une image.

La définition du pouvoir de résolution est assez empirique et dépend de l'instrument utilisé : une pupille carrée aura un pouvoir de résolution différent d'une pupille circulaire. En éclairage cohérent (addition des amplitudes) une définition possible est l'angle $\rho$ entre le centre de la réponse impulsionnelle et son premier minimum négatif. La figure ci-dessous (colonne du milieu) montre que si $\alpha_0=\rho$ on a observe deux taches ``à peine'' séparées avec une intensité centrale I₀ valant 80 pour cent de celle du maximum observée au centre des taches.

Pour une pupille circulaire, le pouvoir de résolution en éclairage cohérent vaut donc :

$$\rho=1.6 \frac{\lambda}{d}$$

Ce résultat n'est pas applicable en lumière blanche (voir chapitre sur la cohérence) oł l'on somme les intensités proveant des deux sources et non leur amplitude. Le pouvoir de résolution en lumière incohérente vaut, selon la définition de Lord Rayleigh $\rho'=1.2\frac{\lambda}{d}$.

   Figure: Illutration du pouvoir de résolution d'une optique à pupille circulaire de diamètre d en lumière cohérente. On fabrique l'image de deux points par la somme des amplitudes de deux réponses impulsionnelles décalées $i(\alpha,\beta)=\mbox{Cte} \; [R(\alpha,\beta)+R(\alpha+\alpha_0,\beta)]$ (voir texte). Les trois figures du haut montrent l'amplitude somme $i(\alpha ,\beta )$ et les deux amplitudes individuelles $R(\alpha ,\beta )$ et $R(\alpha +\alpha _0,\beta )$ pour différentes valeurs de $\alpha _0$. Les courbes de la ligne du milieu montrent l'intensité correspondante $\vert i(\alpha ,\beta )\vert^2$. On s'apperçoit que dans le cas où $\alpha_0 < \frac{\lambda}{d}$ les deux taches sont confondues en une seule et l'on dit que l'instrument n'est pas capable de ``séparer'' les deux sources. Un cas limite est atteint quand $\alpha_0=1.6 \frac{\lambda}{d}$ (colonne du milieu) : le maximum de chaque tache tombe en face du premier minimum négatif de l'autre. L'intensité au centre vaut 80 % du maximum. Les trois figures du bas donnent l'aspect visuel de l'image dans chacun des cas.