Objet à l'infini -- Formation d'images

On peut supprimer la première lentille et placer l'objet à grande distance de la lentille restante : on réalise ainsi une vraie diffraction de Fraunhofer entre le plan de l'objet et le plan du masque. Le montage optique est alors le suivant :

Les notations sont les suivantes

• Amplitude de l'onde incidente dans le plan de l'objet : $\psi_0$
• t(x',y') : coefficient de transmission de l'objet
• Distance objet-masque : D, assez grand pour pouvoir faire l'approximation de Fraunhofer
• Lentille de focale f et masque P(x₁,y₁) dans le même plan pris comme origine des z
• f₂(x,y) : amplitude au plan focal

A la sortie de l'objet (z=-D), l'amplitude s'écrit

$$f_0(x',y')=\psi_0\; t(x',y')$$

Une première diffraction de Fraunhofer permet d'écrire l'amplitude à l'entrée du masque

$$\psi(x_1,y_1,0^-)=\frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \hat f_0\left(\frac{x_1}{\lambda D}, \frac{y_1}{\lambda D}\right)$$

puis sur la lentille

$$f_1(x_1,y_1)=\frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \hat f_0\left(\frac{x_1}{\lambda D}, \frac{y_1}{\lambda D}\right) \; P(x_1,y_1)$$

On utilise la relation (1) qui donne l'amplitude au foyer de la lentille

Posons $\alpha=\frac{x}{f}$ et $\beta=\frac{y}{f}$. Ce sont les sinus des deux angles $\theta_x$ et $\theta_y$ sous lesquel est vu un point du plan focal image (x,y) depuis le centre de la lentille (dessin ci-contre). Posons aussi $i(\alpha,\beta)=f_2(x,y)=f_2(\alpha f,\beta f)$. Alors que f₂(x,y) désigne l'amplitude en un point (x,y) de l'image (répartition spatiale d'amplitude), $i(\alpha ,\beta )$ désigne l'amplitude diffractée dans la direction $(\alpha,\beta)$, c'est donc une répartition angulaire d'amplitude dans l'image.
Il vient

$$i(\alpha,\beta)=-e^{i k (f+D)} \; \frac{D}{f} \; \exp\left[i\... ...\frac{\beta}{\lambda}\right)\; \ast \; f_0(-\alpha D,-\beta D)$$

Posons $o(\alpha,\beta)=f_0(\alpha D,\beta D)$, cette fonction désigne l'amplitude observée depuis le centre de la lentille dans une direction $(\alpha,\beta)$, c'est à dire la répartition angulaire d'amplitude sur l'objet. Nous aboutissons à la relation de convolution suivante :

$$i(\alpha,\beta)=-e^{i k (f+D)} \; \frac{D}{f} \; \exp\left[i\... ...bda}, \frac{\beta}{\lambda}\right)\; \ast \; o(-\alpha,-\beta)$$

Cette relation entre les répartitions angulaires d'amplitude est indépendante de la focale de la lentille et de la distance de l'objet. La réponse impulsionnelle du filtrage est la transformée de Fourier du coefficient de transmission du masque

$$R(\alpha,\beta)=\hat P\left(\frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\beta}{\lambda}\right)$$

Cette relation est à comparer à celle qui existe entre les répartitions spatiales d'amplitude entre les plans P₀ et P₂ d'un montage à double diffraction (eq. (10)). Outre l'indépendance par rapport aux focales, nous avons ici un terme multiplicatif $\exp\left[i\pi\lambda f (\alpha^2+\beta^2) \right]$ qui dépend des variables $(\alpha,\beta)$.

Cependant ce calcul est fait dans les limites de l'optique paraxiale avec des angles inférieurs à la dizaine de degrés (voir paragraphe correspondant). Dans le visible, $\lambda\simeq 0.5\mu$m, les focales moyennes dont de quelques dizaines de centimètres, prenons par exemple f=1 m. Posons $\theta=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. Nous sommes en optique paraxiale si  rad. L'argument de l'exponentielle vaut alors

$$\pi\lambda f (\alpha^2+\beta^2) \simeq 10^{-7}$$

et le facteur multiplicatif $\exp\left[i\pi\lambda f (\alpha^2+\beta^2) \right]$ est donc toujours quasiment égal à un en optique paraxiale. On peut donc ré-écrire la relation de convolution objet-image :

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle i(\alpha,\beta)=-e^{i k (f+D)} \;... ... \frac{\beta}{\lambda}\right)\; \ast \; o(-\alpha,-\beta) $ } }$$ (13)