Exemple d'application

On s'intéresse à l'exemple du paragraphe précédent, l'objet est une gaussienne tramée d'écart-type $\sigma$ qui s'écrit

$$t(x,y)=\exp\left[-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right]\; \cos^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)$$

On désire filtrer cet objet par une fente rectangulaire horizontale de largeur l qui s'écrit $P(x,y)=\prod(x/l)$. L'équation 7 nous permet d'écrire

$$\hat t_f(u,v)=\hat t(u,v) \; \prod\left(\frac{\lambda f u}{l}\right)$$ (9)

avec

$$\hat t(u,v)=2\pi\sigma^2\; \exp(-2\pi^2\sigma^2 (u^2+v^2)) \;... ...\delta(v) + \frac{1}{4} \delta(u+\frac{1}{a})\delta(v) \right]$$

l'opération de filtrage décrite par l'équation 9 est particulièrement simple à interpréter sur le graphe suivant :

Le filtrage des deux spots latéraux n'est efficace qu'aux conditions suivantes

• Les trois pics sont bien séparés : $a\ll \sigma$
• La taille de la porte est très supérieure à celle du spot central : $l\gg\frac{\lambda f}{ \sigma}$
• La porte n'empiète pas sur les lobes secondaires : $l\ll\frac{2\lambda f}{a}$

Dans ce cas on peut écrire que la TF de l'objet filtré est égal au pic central :

$$\hat t_f(u,v)=\pi\sigma^2\; \exp(-2\pi^2\sigma^2 (u^2+v^2))$$

ce qui permet d'écrire l'objet filtré :

$$t(x,y)=\frac{1}{2}\; \exp\left[-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right]$$

On remarque que la valeur à l'origine de l'objet filtré est moitié de celle de l'objet, ce qui est une expression de la conservation de l'énergie puisque le filtrage a supprimé des fréquences dans la TF de l'objet (application du théorème de Parseval). Ce filtrage a néanmoins permi d'enlever les franges sinusoïdales striant la gaussienne. Un autre exemple de filtrage optique est montré en figure ci-dessous.

Figure 1.1: Application du filtrage optique au détrammage de l'image d'une cellule. Dans la pratique le filtrage ne restitue jamais parfaitement l'image originale (on a coupé une bonne partie des hautes fréquences dans le plan de Fourier). Les détails plus fins que le pas de la trame seront perdus.