Utilisation du modèle Gaussien

Dans la première proposition de la technique [10, 12] nous envisagions d'utiliser le modèle gaussien décrit dans [9] comme point de départ d'une procédure de minimisation entre la fonction caractéristique calculée sur un ensemble de données et celle qui est obtenue à l'aide du modèle et qui dépend de l'ensemble des paramètres qui définissent l'objet. Dans l'expression de la fonction caractéristique interviennent les paramètres suivants :

• la covariance r(x) de l'amplitude complexe de l'onde,
• le nombre N de points qui constituent l'objet,
• la position de ces points,
• la valeur de l'intensité en ces points ( ).

Ces quantités sont toutes inconnues a priori. L'estimation de N, de et de constitue le processus d'imagerie proprement dit. La covariance de l'amplitude complexe dépend principalement de la pupille du télescope [32] et son expression peut être connue. Dans le cas d'un télescope circulaire nous avons vu au paragraphe  que c'était la racine carrée d'une fonction d'Airy. L'extension spatiale de cette fonction peut être déterminée à partir de l'autocorrélation d'une étoile servant de référence à l'objet étudié en mesurant la taille du pic speckle (dans le cas du modèle gaussien, la relation entre r(x) et l'autocorrélation de la réponse impulsionnelle est très simple (eq. )).

Le nombre N de points qui composent l'objet est un paramètre délicat ; il faut en fait l'estimer avant de commencer la recontruction. Trois cas de figure peuvent se présenter :

1. On sait dès le départ quel type d'objet on étudie (étoile double, recherche d'une troisième composante autour d'un système binaire, etc...). N est alors connu a l'avance et le problème ne se pose pas.
2. On peut faire des hypothèses sur le nombre de points qui définissent l'objet, par exemple on reconstruit l'image de Cérès qui est un objet circulaire dont on connait le diamètre et qui sera échantillonné par le détecteur sur un carré de pixels. A ce moment là on peut prendre pour N une valeur que l'on juge correcte (à la limite on peut légèrement surestimer N, les points ``en trop'' auront une intensité voisine de zéro après reconstruction).
3. On ne sait rien du tout sur l'objet : c'est le cas général. On peut alors estimer la taille de l'objet à partir de l'autocorrélation des images tavelées. Il est également possible de prendre N comme l'une des inconnues et de reconstruire plusieurs objets de plus en plus complexes, jusqu'à atteindre le meilleur accord possible entre l'observation et le modèle.

Pour déterminer les valeurs de et , on choisit d'appliquer une procédure de minimisation. On peut calculer en utilisant le formalisme de l'article [9] une expression mathématique de la fonction caractéristique d'ordre Q d'un objet comprenant N points. Cette expression dépend des valeurs de et de . En ajustant ces paramètres de telle sorte qu'une certaine distance entre la fonction caractéristique observée et celle du modèle soit minimale, on obtiendra une collection de valeurs qui constituera un objet possible.

L'ordre Q d'analyse à utiliser pour la minimisation dépend à la fois de l'objet et des moyens de calcul dont on dispose. Nous avons pu montrer [14] que l'ordre maximal qu'il faut utiliser pour imager des objets comprenant N points est N. (un peu moins lorsque l'objet possède une géométrie particulière). Si l'on calcule la densité de probabilité d'ordre N d'un objet à N points, on peut s'attendre en généralisant le raisonnement intuitif que nous avons fait à l'ordre 2 pour une étoile double, que le graphe de dans un espace à N dimensions lorsque tous les décalages correspondent aux distances entre les points de l'objet présente une direction privilégiée dont les cosinus directeurs sont les rapports d'intensité entre les différents points (ce résultat n'a toutefois pas encore été démontré de manière rigoureuse).

Si et épuisent toute l'information imageuse, ce sont des quantités qui deviennent vite très difficiles à manipuler lorsque N augmente. Ce sont en fait des fonctions à 3N-2 dimensions (N valeurs de l'intensité (densité de probabilité) ou de sa variable conjuguée (fonction caractéristique) et N-1 vecteurs décalages). Notre idée est de se limiter dans un premier temps à une analyse au second ordre ; nous avons vu en effet au paragraphe  que dans le cas d'un système d'étoiles multiples bien séparées, la fonction caractéristique d'ordre deux permet de déterminer toutes les caractéristiques de l'objet. Il est probablement plus précis d'effectuer une analyse à l'ordre trois, quatre ou plus, l'idéal étant de se placer à l'ordre qui maximise le rapport qualité de la reconstruction/temps de calcul. On ne sait pas actuellement comment se traduit sur l'image finale le fait d'avoir pris un ordre élevé ou non et c'est une étude qui est dans nos perspectives.